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La frontière efficiente. Soit $(X_1,...,X_n)$ un vecteur de variables aléatoires admettant des variances et $V=(\text{cov}(X_i,X_j))_{1\leq i,j\leq n}$, $E$ la matrice colonne des espérances des $X_i$. On suppose que $V$ est inversible. On identifie $\R^n$ et $\M_{n,1}(\R^n)$.
Pour tout $v>0$, on note ${\cal E}_v$ l'ensemble des $U\in(\R^+)^n$ tels que $\,^tUVU=v$
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- Montrer que $V$ est diagonalisable et que pour tout $U\in\R^n$ de composantes $u_1,...,u_n$, $^tUVU=\V\left(\dsum_{k=1}^nu_kX_k\right)$.
- En déduire qu'il existe deux réels strictement positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $U\in\R^n$:
$$\alpha \|U\|^2\leq ^tUVU\leq \beta \|U\|^2$$
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- Montrer que ${\cal E}_v$ est un ensemble non vide fermé borné de $\R^n$.
- En déduire que la fonction $\varphi:v\mapsto \disp\max_{U\in{\cal E}_v}\,^tUE$ est définie sur $]0,+\infty[$.
- Pour tout $v>0$, Montrer que $U\in{\cal E}_1\iff \sqrt vU\in{\cal E}_v$. En déduire que, pour tout $v>0$, $\varphi(v)=\varphi(1)\sqrt v$.
- Soit $v^*>0$ et $w^*=\varphi(v^*)$ obtenu pour le vecteur $U^*$ avec $w^*>0$.
Soit $U\in{\cal E}_v$ tel que $^tUE=w^*$. Comparer $\varphi(v)$ et $w^*$. En déduire que $v\geq v^*$. Que peut-on en déduire pour $U^*$?
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