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TD1 - Révisions d'analyse de première année
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Nb d'énoncés:
-
2018 - 👍 La lettre $n$ désigne un entier naturel non nul.
Soit $f_n$ la fonction définie sur $\R_+$ par : $f_n(x)=1-x-x^n$.
- Montrer que l'équation $\ f_n(x)=0\ $ d'inconnue $x$ admet une seule solution, notée $u_n$
💁♂️📚.
- Ecrire un script Scilab qui permet de faire une conjecture sur les variations de la suite $(u_n)$ ainsi que sur sa limite.
💁♂️👨🏫
-
- Vérifier que $u_n$ appartient à $]0,1[$ 💁♂️
- En déduire le signe de $\ f_{n+1}(u_n) \ $ puis établir que la suite $(u_n)$ est croissante 💁♂️.
- Conclure que la suite $(u_n)$ converge et que sa limite appartient à $[0,1]$ 📚👨🏫.
- Montrer par l'absurde que la limite de la suite $(u_n)$ vaut 1 💁♂️📚.
- Vérifier que $u_n$ appartient à $]0,1[$
- Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $\ v_n=1-u_n$.
- Justifier que $v_n$ est strictement positif, puis montrer que $\ \ln(v_n) \underset{+ \infty}{\sim } -n \, v_n$ 💁♂️👨🏫.
- Etablir que $ \ \underset{n \rightarrow + \infty}{\lim } \ \displaystyle \frac{ \ln\left(\frac{- \ln(v_n)}{n \, v_n}\right)}{- \ln(v_n)} \ =0\ $ et en déduire que : $\ \ln(v_n)\underset{+ \infty}{\sim } - \ln(n)$💁♂️.
- Montrer enfin que : $\ v_n \underset{+ \infty}{\sim } \displaystyle\frac{ \ln(n)}{n} $ .
- Justifier que $v_n$ est strictement positif, puis montrer que $\ \ln(v_n) \underset{+ \infty}{\sim } -n \, v_n$
- Donner la nature des séries de termes généraux $v_n$ et $v_n^2$📚📚.
- Montrer que l'équation $\ f_n(x)=0\ $ d'inconnue $x$ admet une seule solution, notée $u_n$
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2018 - 👍
- Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $a_n=\dfrac{1}{n\ln n}$.
- Montrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on a : $\displaystyle\int_k^{k+1}\frac 1{t\ln t}\,\mathrm{d}t\leqslant \frac 1{k\ln k}$ 💁♂️.
- En déduire, par sommation, la nature de la série de terme général $a_n$ 💁♂️.
- Montrer que pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on a : $\displaystyle\int_k^{k+1}\frac 1{t\ln t}\,\mathrm{d}t\leqslant \frac 1{k\ln k}$
-
- Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 1[$💁♂️.
- Montrer que $f$ est dérivable en 0 et donner la valeur de $f'(0)$ 💁♂️.
- Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 1[$
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- Montrer que $f$ est dérivable sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,1[$, puis calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $]-\infty,0[\cup ]0,1[$.
- Étudier le signe de la quantité $ \ln (1-x)+x$, lorsque $x$ appartient à $]-\infty,1[$, puis en déduire les variations de $f$💁♂️.
- Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition, puis dresser son tableau de variation.
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- Établir que, pour tout $n$ de $\N^*$, il existe un seul réel de $[0,1[$, noté $u_n$, tel que $f(u_n)=n$ et donner la valeur de $u_1$.
- Montrer que la suite $(u_n)$ converge et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$💁♂️📚.
- Pour tout entier naturel $n$ non nul, calculer $f\left(1-\dfrac 1{n\sqrt n}\right)$👨🏫puis en déduire qu'il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $n_0$, on a : $u_n\leqslant 1-\dfrac 1{n\sqrt n}$💁♂️.
- En déduire, à l'aide de la première question, que la série de terme général $ \dfrac 1{-n\ln (1-u_n)}$ est divergente 💁♂️📚.
- Conclure, en revenant à la définition de $u_n$, que la série de terme général $1-u_n$ est divergente.
- Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $a_n=\dfrac{1}{n\ln n}$.
-
👍 Soit $P$ une fonction polynomiale à coefficients réels de degré $n>0$. On pose, pour tout $t\in\R$: $$Q(t)=\dsum_{k=0}^n P^{(k)}(t)$$
- On suppose que $P$ possède un minimum sur $\R$ au point $a$.
- Montrer que $n$ est pair 💁♂️📚et que $\dlim_{t\to +\infty}Q(t)=\dlim_{t\to -\infty}Q(t)=+\infty$.
- En déduire qu'il existe $t_0\geq 0$ tel que si $|t|\geq t_0$, $Q(t)\geq Q(0)$ 💁♂️📚.
- Montrer qu'il existe $t_1\in[-t_0,t_0]$ tel que $Q(t_1)=\min_{[-t_0,t_0]}Q(t)$
📚. En conclure que $Q$ admet un minimum sur $\R$ et qu'il est plus grand que $P(a)$💁♂️📚📚.
- On s'intéresse à la réciproque. On suppose que $Q$ possède un minimum sur $\R$ au point $b$.
- Montrer que $P(b)=Q(b)$, que $n$ est pair et que $\dlim_{t\to +\infty}P(t)=\dlim_{t\to -\infty}P(t)=+\infty$.
- En déduire que $P$ possède un minimum sur $\R$ plus petit que celui de $Q$.
- Montrer que $n$ est pair
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👍 Soit $f$ une fonction continue sur $[0,\frac{\pi}2]$. On définie sur $[0,\frac{\pi}2]$, la continue $g$ par: $$\forall x\in[0,\frac{\pi}2], g(x)=\dint_0^{\frac{\pi}2}\min(x,t)f(t)dt$$
- La fonction $t\mapsto \min(x,t)$ est-elle continue sur $[0,\frac{\pi}2]$, de classe $C^1$ sur $[0,\frac{\pi}2]$ (on pourra utiliser une représentation graphique)?
- Calculer $g$ si $a\in\R$ et $f$ est définie par sur $[0,\frac{\pi}2]$ par $f:t\mapsto a\sin(t)$ 💁♂️.
- Montrer que $g$ est une fonction de classe $C^2$ sur $[0,\frac{\pi}2]$ et justifier que $g''=-f$
💁♂️📚.
- On suppose que $g=f$.
- En déduire, en utilisant un résultat du cours 📚que: $$\forall x\in[0,\frac{\pi}2], f(x)=\dsum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=f(0)\dsum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+f'(0)\dsum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
- Établir aussi que $f(0)=f'(\frac{\pi}2)=0$.
- En conclure que pour tout $x\in[0,\frac{\pi}2]$, $f(x)=f'(0)\sin(x)$.
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2019 - 👍
On considère $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ et à valeurs dans $\R.$
On définit la fonction $\Phi(f)$ sur $\R$ par : $$\forall x\in\R,\quad \Phi(f)(x)=\left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \frac{1}{x^2}\int_0^x tf(t)\text{d}t & \text{ si } x\ne 0,\newline\displaystyle \frac{f(0)}{2} & \text{ si } x = 0.\end{array}\right.$$- On pose, pour tout $x$ de $\R$ : $ \quad h(x)= \displaystyle \int_0^x tf(t)\text{d}t.$
- Justifier que la fonction $h$ est de classe $C^1$ sur $\R$ et préciser, pour tout $x$ de $\R, h'(x)$ 💁♂️📚.
- Soit $x\in \R^{+*}.$ Justifier qu'il existe deux réels $\alpha_x$ et $\beta_x$ appartenant à $[0;x]$ tels que :
$$f\left(\alpha_x\right) \int_0^x t\; \text{d}t\leqslant \int_0^x tf(t)\text{d}t\leqslant f\left(\beta_x\right) \int_0^x t\; \text{d}t$$📚💁♂️.
- En déduire : $\quad \displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.$
- Montrer que l'on a aussi : $ \quad \displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.$
💁♂️
- Justifier que la fonction $h$ est de classe $C^1$ sur $\R$ et préciser, pour tout $x$ de $\R, h'(x)$
- Montrer que la fonction $\Phi(f)$ est continue sur $\R$ et de classe $C^1$ sur $\R^{+*}$ et sur $\R^{-*}$ et que l'on a : $$\forall x\in \R^*, \quad \big(\Phi(f)\big)'(x)=\frac1x\big(f(x)-2\Phi(f)(x)\big).$$
-
- Montrer que, si $f$ est une fonction paire (respectivement impaire), alors $\Phi(f)$ est encore une fonction paire (respectivement impaire).
💁♂️📚(si besoin, voir le 1. de cette fiche de cours)
- Montrer que, si $f$ est une fonction positive, alors $\Phi(f)$ est encore une fonction positive 📚.
- Montrer que, si $f$ est une fonction paire (respectivement impaire), alors $\Phi(f)$ est encore une fonction paire (respectivement impaire).
- On admet le résultat suivant :
$$\text{ si } \lim_{+\infty}f=0,\quad \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=0.$$
- Soit $\ell\in\R.$ En utilisant $\Phi(g)$ où $g:x\mapsto f(x)-\ell,$ montrer :
$$\text{ si } \lim_{+\infty}f=\ell,\quad \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}.$$💁♂️
- Soit $\ell\in\R.$ En utilisant $\Phi(h)$ où $h:x\mapsto f(-x),$ montrer : $$\text{ si } \lim_{-\infty}f=\ell,\quad \text{ alors } \lim_{-\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}.$$
- Soit $\ell\in\R.$ En utilisant $\Phi(g)$ où $g:x\mapsto f(x)-\ell,$ montrer :
$$\text{ si } \lim_{+\infty}f=\ell,\quad \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}.$$
- On pose, pour tout $x$ de $\R$ : $ \quad h(x)= \displaystyle \int_0^x tf(t)\text{d}t.$
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2019 - 👍 On appelle fonction logistique la fonction $\Lambda$ définie par :$\forall x\in\R, \Lambda(x)=\dfrac 1{1+\e^{-x}}$.
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- Montrer que $\Lambda$ est une bijection de $\R$ sur $]0,1[$, dont la bijection réciproque est la fonction $L$ définie par:
$$\forall x\in]0,1[,\quad L(x)=\ln\left(\dfrac x{1-x}\right).$$💁♂️
- Calculer la dérivée de la fonction $\Lambda$.
- Justifier l'existence d'un unique réel $x_0$ tel que: $\Lambda(x_0)=x_0$💁♂️.
- Établir pour tout $x\in\R$, l'inégalité: $\left|\Lambda(x)-x\right|\leq |x-x_0|$💁♂️📚.
- Montrer que $\Lambda$ est une bijection de $\R$ sur $]0,1[$, dont la bijection réciproque est la fonction $L$ définie par:
$$\forall x\in]0,1[,\quad L(x)=\ln\left(\dfrac x{1-x}\right).$$
- Le script
Scilab suivant, dont la ligne (1) définit la fonction $\Lambda$, permet de calculer une valeur approchée de $x_0$ par la méthode de dichotomie.(1) deff('y=Lambda(x)','y=1/(1+exp(-x))');
(2) a=0 ;
(3) b=1 ;
(4) eps=........;
(5) while b-a>eps ;
(6) $\quad$ c=(a+b)/2;
(7) $\quad$ if Lambda(c)>c then ..........; else b=.........; end;
(8) end;
(9) x0=(a+b)/2- Compléter la ligne (7) et justifier le choix des valeurs affectées en lignes (2) et (3) aux variables $\texttt{a}$ et $\texttt{b}$👨🏫.
-
Quelle valeur maximale peut-on affecter en ligne (4) à la variable $\texttt{eps}$ pour être assuré que l'erreur d'approximation ne dépasse pas $10^{-4}$?👨🏫
- Que peut-on dire de la valeur numérique obtenue par l'instruction $\texttt{(10)}$ suivante?
$\texttt{(10) Lambda(x0)-x0}$
- Compléter la ligne (7) et justifier le choix des valeurs affectées en lignes (2) et (3) aux variables $\texttt{a}$ et $\texttt{b}$
- On note $\lambda$ la dérivée de la fonction $\Lambda$.
- Vérifier que $\lambda$ est une densité de probabilité 📚.
- Préciser la parité de $\lambda$💁♂️Pour tout donner l'allure de sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal et en déterminer les points d'inflexion👨🏫.
- Vérifier que $\lambda$ est une densité de probabilité
-
-
2017 - 😨 Pour tout $n\in\N^*$, soit $h_n$ la fonction définie par: $\forall x\in[0,1],h_n(x)=((1-x)\e^x))^n$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose: $I_n=\dint_0^1 h_n(x)dx$.
-
- À l'aide du changement de variable $u=n(1-x)$, montrer que: $\forall n\in\N^*, I_n=\dfrac{\e^n}{n^{n+1}}\dint_0^n u^n\e^{-u}du$💁♂️.
- Montrer que pour tout $x\in[0,1[$, on a : $x+\ln(1-x)\leq -\dfrac{x^2}2$💁♂️📚.
- En se référant à une densité de la loi normale centrée réduite, en déduire que:$\forall n\in\N^*, 0\leq I_n\leq \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$💁♂️📚.
- À l'aide du changement de variable $u=n(1-x)$, montrer que: $\forall n\in\N^*, I_n=\dfrac{\e^n}{n^{n+1}}\dint_0^n u^n\e^{-u}du$
- On note $h_n^*$ la restriction à l'intervalle $]0,1[$ de la fonction $h_n$.
On pose pour tout $x\in]0,1[$:
$$h_n^*(x)=\exp\left(-\dfrac{nx^2}2H(x)\right)\text{ et }g(x)=(1-x)\ln(1-x)+x-\frac{x^2}2$$
- Montrer que $H$ est prolongeable par continuité en $0$. On note encore $H$ la fonction ainsi prolongée 💁♂️.
- Montrer que la fonction $g$ est convexe et strictement positive sur $]0,1[$.
- En déduire que la fonction $H$ réalise une bijection strictement croissante de $[0,1[$ sur $[1,+\infty[$💁♂️.
- Montrer que $H$ est prolongeable par continuité en $0$. On note encore $H$ la fonction ainsi prolongée
- Soit $(u_n)_{n\in\N^*}$ une suite convergente de limite nulle telle que : $\displaystyle\lim u_n\sqrt n=+\infty$ et $\forall n\in\N^*, 0 < u_n < 1$.
- Donner un exemple d'une telle suite $(u_n)_{n\in\N^*}$👨🏫.
- Soit $(v_n)_{n\in\N^*}$ la suite définie par: $\forall n\in\N^*, v_n=H(u_n)$. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente et préciser sa limite.
- Établir pour tout $n\in\N^*$, l'encadrement: $I_n\geq\dint_0^{u_n} h_n(x)dx\geq \dfrac 1{\sqrt{nv_n}}\dint_0^{u_n\sqrt{nv_n}}\exp\left(-\dfrac {y^2}2\right)dy$💁♂️.
- Déduire des questions 1.c. et 3.c., un équivalent de $I_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$💁♂️.
- Donner un exemple d'une telle suite $(u_n)_{n\in\N^*}$
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👍 On définit la fonction $f$ par: $f(x)=\begin{cases} \dfrac{\e^x-1}x &\text{ si }x\neq 0\\ 1 & \text{sinon} \end{cases}$
- Montrer que $f$ est continue sur $\R$ et réalise une bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$.
📚
- On considère une suite de réels non nuls $(u_n)_{n\geq 1}$ et on suppose que la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ est absolument convergente. On définit la suite $(v_n)_{n\geq 1}$ par $v_n=\displaystyle\prod_{k=1}^n\dfrac{e^{u_k}-1}{u_k}$.
- Quelle est la limite de $\dfrac{\e^{u_n}-1}{u_n}$ quand $n\to +\infty$ 📚?
- Justifier que la suite de terme général $\ln\left(\dfrac{\e^{u_n}-1}{u_n}\right)$ est bien définie et que: $\ln\left(\dfrac{\e^{u_n}-1}{u_n}\right)\sim\dfrac{u_n}2$.
- En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente vers une limite strictement positive
📚📚.
- Quelle est la limite de $\dfrac{\e^{u_n}-1}{u_n}$ quand $n\to +\infty$
-
- En utilisant la première question, montrer que pour tout $n\in\N^*$, il existe un unique $x_n\in\R^*$, tel que $\dfrac{\e^{x_n}-1}{x_n}=\e^{\frac{(-1)^n}{n}}$ et que $\displaystyle\lim x_n=0$.
- En étudiant les suites de termes généraux $R_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}$ et $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{k}$, montrer que la série $\displaystyle\sum \ln\left(\dfrac{\e^{x_n}-1}{x_n}\right)$ est convergente 📚.
- En déduire que la suite de terme général $\displaystyle\prod_{k=1}^n\dfrac{\e^{x_k}-1}{x_k}$ converge vers une limite strictement positive quand $n\to +\infty$.
- Montrer que $|x_n|\sim \dfrac 2n$. Que peut en conclure? Qu'a-t-on ainsi démontré?
- Montrer que $f$ est continue sur $\R$ et réalise une bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$.
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👍 - TD Scilab
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- Ecrire un script Scilab qui calcule et affiche pour $n$ entier naturel plus grand que $2$ et $x>0$, $f_n(x)=\ln(n)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac 1{x+k}$. Conjecturer les variations de $f_n$ pour différentes valeurs de $n$, puis le comportant de la suite $(f_n(x))_{n}$ pour différentes valeurs de $x$.
- Montrer que pour tout $n\geq 2$, il existe un unique $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$.
- Étudier les variations de la suite $(f_n(x))_n$ et, en étudiant la série de terme général $f_{n+1}(x)-f_{n}(x)$, montrer que la suite $(f_n(x))_n$ converge.
- Montrer que la suite $(x_n)_n$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. Vérifier que $\ell\approx 1.465$.
- Soit $x$ un réel strictement positif et $n$ un entier naturel. On pose $$g_n(x)=\dfrac{n!\times n^x}{x(x+1)...(x+n)}$$
- En utilisant la même idée que dans la question 1.c, montrer que pour tout $x>0$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\ln(g_n(x))$ existe et est finie. On note $\Gamma(x)$ la limite de $g_n(x)$.
- Ecrire un script Scilab qui calcule et affiche pour $n$ entier naturel et $x>0$, $g_n(x)$.
- En utilisant le script précédent pour différentes valeurs de $x>0$, faire une conjecture sur la valeur de $\dfrac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x)}$. Démontrer votre conjecture.
- Étudier les variations de $x\mapsto g_n(x)$ sur $]0,+\infty[$ (on pourra utiliser la fonction $\ln$.)
- Conjecturer les variations de $\Gamma$ avec Scilab au moyen d'une représentation graphique et démontrer cette conjecture.
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😨 On considère $F$, une fonction définie $]0,+\infty[$, à valeurs strictement positives qui vérifie les propriétés suivantes :
- Pour tout $x>0$, $F (x+1) = xF(x)$ et $F(1)=1$.
- La fonction $x\mapsto \ln(F(x))$ est une fonction convexe.
Soit $x\in]0, 1]$ et $n$ un entier tel que $n\geq 2$.- Etablir la double inégalité: $$\ln(F (n))-\ln(F(n-1))\leq \frac{\ln(F(n+x))-\ln(F(n))}x\leq\ln(F(n+1))-\ln(F(n)) $$
- Calculer $F(n)$. En déduire un encadrement de $F(n + x)$ à l'aide des deux expressions $(n-1)^x(n-1)!$ et $n^x(n-1)!$.
- Etablir la relation qui lie, $\forall p\geq 1$, $F (p+x)$ à $F (x)$.
- En déduire les inégalités suivantes : $$\frac n{x+n}F(x)\leq \frac{n^x\,n!}{x(x+1)...(x+n)}\leq F(x)$$ puis que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n^x\,n!}{x(x+1)...(x+n)}=F(x)$.
- Montrer que $\forall x>0$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n^x\,n!}{x(x+1)...(x+n)}=F(x)$.
-
2019 - 👍
On considère la suite $\left( I_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ définie par :
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{\ N},\quad I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\cos t)^{n}%
\mathrm{\ d}t
\end{equation*}
- Montrer que $I_{n}$ est bien défini pour tout $n\in \mathbb{N}$. Calculer $I_{0},\ I_{1}$ et $I_{2}$.
-
- Etudier la monotonie de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\geqslant 0}.$ En déduire que la suite $\left( I_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ converge.
- À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $$\forall n\in \mathbb{N},I_{n+2}=(n+1)\left( I_{n}-I_{n+2}\right) $$
- En déduire que : \begin{equation*} \forall n\in \mathbb{N},I_{2n}=\frac{(2n)!}{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}\frac{% \pi }{2}\text{ et }I_{2n+1}=\frac{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}{(2n+1)!} \end{equation*}
- Compléter la fonction I suivante, qui prend en entrée un entier
positif $n$, afin qu'elle retourne un vecteur $\texttt{y}$ qui contient les $
2n+2$ premiers termes de la suite $\left( I_{n}\right) _{n\geqslant 0}$.
$ \texttt{function y=I(n)} \\ \texttt{u=zeros(1,......)} \\ \texttt{u(0)=......} \\ \texttt{u(1)=......} \\ \texttt{for k=1:n} \\ \texttt{......} \\ \texttt{end} \\ \texttt{y=u} \\ \texttt{endfunction} $
-
- Rappeler un équivalent simple de $x\longmapsto \cos (x)-1\text{ et }% u\longmapsto \ln (1+u)$ au voisinage de $0$.
- Montrer que $n\ln \left( \cos \left( n^{-1/4}\right) \right) \underset{% n\rightarrow +\infty }{\thicksim }-\dfrac{1}{2}\sqrt{n}.$ En déduire $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( \cos \left( n^{-1/4}\right) \right) ^{n}.$
- Montrer que : $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left( \cos \left( n^{-2/3}\right) \right) ^{n}=1.$
-
- Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ : \begin{equation*} \int_{0}^{n^{-1/4}}(\cos t)^{n}\mathrm{d}t\leqslant n^{-1/4} \end{equation*}
- Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ :% \begin{equation*} \int_{n^{-1/4}}^{\frac{\pi }{2}}(\cos t)^{n}\mathrm{d}t\leqslant \frac{\pi }{% 2}\left( \cos \left( n^{-1/4}\right) \right) ^{n} \end{equation*}
- En déduire que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=0.$
-
- Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ : \begin{equation*} I_{n}\geqslant \int_{0}^{n^{-2/3}}(\cos t)^{n}\mathrm{d}t\geqslant n^{-2/3}\left( \cos \left( n^{-2/3}\right) \right) ^{n} \end{equation*}% En déduire la nature de la série de terme général $I_{n}.$
- Ecrire une fonction en $\texttt{Scilab}$ qui prend en entrée un entier naturel $n$ et qui renvoie en sortie le terme de rang $n$ de la suite des sommes partielles associée à la série $\sum_{n\geqslant 0}I_{n}$
-
- Montrer que pour tout réel $t$ de $\left] -\pi ,\pi \right[ :\cos (t)+1=\dfrac{2}{1+\tan ^{2}\left( \frac{t}{2}\right) }$
- À l'aide du changement de variable $u=\tan \left( \frac{t}{2}\right) $% , montrer que : \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dt}{1+\cos (t)}=1 \end{equation*}
- Montrer que pour tout entier $n$ : \begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}I_{k}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dt}{1+\cos (t)}% -\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(-\cos (t))^{n+1}}{1+\cos (t)}dt \end{equation*}
- Montrer que : \begin{equation*} \forall n\in \mathbb{N},\ \left\vert \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(-\cos (t))^{n+1}}{1+\cos (t)}dt\right\vert \leqslant I_{n+1} \end{equation*}
- En déduire que la série $\displaystyle\sum_{k\geqslant 0}(-1)^{k}I_{k}$ est convergente et déterminer sa somme.
-
- 😨
Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{* }$ et tout $x$ de $[0,\pi]$,
on note: $C_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}\cos (kx)$.
-
Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{* }$ et tout $x$ de $%
[0,\pi]$ :
$\dfrac{1}{2}+C_{n}(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin \left( \left( n+\frac{1}{%
2}\right) x\right) }{2\sin \left( \frac{x}{2}\right) }&\text{ si }x>0\\n+\frac 12&\text{ sinon. }\end{cases}$💁♂️
- Soit $n$ dans $\mathbb{N}^{* }$. Calculer $\displaystyle \int_{0}^{\pi} C_{n}(x)dx$.
$\bullet$ On note $\omega :[0,\pi]\rightarrow \mathbb{R}$ l'application définie par : $$\omega (x)=\begin{cases} 0\text{ si }x=0 \\ \dfrac{\cos (ax)-1}{\sin (\frac{x}{2})}\text{ si }x\in ]0,\pi]\end{cases} $$ - Montrer que $\omega $ est de classe $C^{1}$ sur $[0,\pi]$ et calculer $\omega ^{\prime }(0)$.
- On note, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{* }$: $I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi }}\omega (x)\sin \left(( n+\frac{1}{2})
x\right) dx$ .
Montrer, grâce à une intégration par parties, que $I_{n}$ tend vers $0$ quand l'entier $n$ tend vers l'infini.
$\bullet$ On note, pour $n\in $ $\mathbb{N}^{* }$ : $u_{n}=\dint_{0}^{\pi }\cos (ax)\cos (nx)dx$ . -
- Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}^{* }$ : $\sum
\limits_{k=1}^{n}u_{k}=-\dfrac{\sin(a\pi )}{2a}+\dfrac{1}{2}I_{n}+\dfrac {\pi}2$💁♂️.
- En déduire que la série $\sum\limits_{n\geqslant 1}u_{n}$ converge, et calculer sa somme.
- Calculer, pour tout $n\in \mathbb{N}^{* }$, $u_{n}$ en fonction
de $a$ et de $n$💁♂️👨🏫.
- Etablir que: $$\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{2(-1)^{n-1}a}{n^2 -a^2}= \dfrac{\pi }{\sin(a\pi )}-\dfrac{1}{a}$$
- Montrer, pour tout $n\in \mathbb{N}^{* }$ : $\sum
\limits_{k=1}^{n}u_{k}=-\dfrac{\sin(a\pi )}{2a}+\dfrac{1}{2}I_{n}+\dfrac {\pi}2$
-
Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{* }$ et tout $x$ de $%
[0,\pi]$ :
$\dfrac{1}{2}+C_{n}(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin \left( \left( n+\frac{1}{%
2}\right) x\right) }{2\sin \left( \frac{x}{2}\right) }&\text{ si }x>0\\n+\frac 12&\text{ sinon. }\end{cases}$