Semaine 19 - Extrema

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1. 👍 On pose $f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2-6y$ pour tout $(x,y)\in\R^2$. Déterminer les extremum locaux de $f$. Sont-ils globaux?

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2. 👍 On pose $f(x,y,z)=(z+1)\sqrt{x^2+y^2-z}$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur un ouvert non vide et possède un unique point critique qui est un point selle.

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3. 👍 Soit \(f_{n}\) la fonction réelle définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par : \((x, y) \longmapsto f_{n}(x, y)=\left(x^{n}-y\right) e^{x-y}\) où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Déterminer les points critiques de $f_n$ et déterminer les extrema locaux de $f_n$.

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4. 😨 Soit $\alpha>0$ et $\beta>0$, on considère la densité de probabilité $f_{\alpha,\beta}$ de la loi de Pareto définie par, pour tout $x\in\R$ par, $f_{\alpha,\beta}(x)=\alpha\left(\dfrac {\beta^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\right)$ pour $x\geq \beta$ et $0$ sinon. Soit $x_1,...,x_n$ des réels plus grands que $\beta$, on définit la vraissemblance $L(\alpha,\beta)=\disp\prod_{k=1}^nf_{\alpha,\beta}(x_i)$. Déterminer, en fonction de $x_1$,...,$x_n$, l'unique couple $(\alpha,\beta)$ qui maximise $L$. Etudier ces estimateurs.

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5. 👍 Montrer que $f:(x,y)\mapsto 5x+4y$ possède un maximum local et un minimum local sur $\R^2$ sous la contrainte $x^2-y^2=1$

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6. 😨 Soit $\alpha_1<...<\alpha_n$ des réels, $m\in]\alpha_1,\alpha_n[$. On pose $f(x_1,...,x_n)=-\dsum_{k=1}^n x_k\ln(x_k)$ et on définit les contraintes linéaires $\dsum_{k=1}^n x_k=1$, $\dsum_{k=1}^n\alpha_kx_k=m$. Montrer que $f$ possède un unique extremum sur son ensemble de définition, sous ces contraintes linéaires et que c'est un maximum absolu (voir les lois de Gibbs)

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7. 😨 Soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ telle que la contrainte $g(x)=c$ soit non critique et soit associée à un ensemble ${\cal C}$ non vide et borné. Montrer, en considérant $x\mapsto \ps{x,u}$, que pour tout $u\in\R^n$ non nul, il existe $x\in{\cal C}$ tel que $\nabla (g)(x)$ est colinéaire à $u$.

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8. 😨 On pose $f(x_1,...,x_n)=2d\dsum_{k=1}^n x_k\ln(x_k)-\left(\dsum_{k=1}^n x_k\right)^2$ si tous les $x_i>0$ et $x_1+...+x_n< d$, avec $d>n$. Montrer que $f$ possède un unique point critique sur son ouvert ${\cal O}$ de définition et qu'elle présente un minimum absolu en ce point ( on montrera en particulier que si $x\in{\cal O}$ et $x+h\in{\cal O}$ alors pour tout $t\in]0,1[$, $x+th\in{\cal O}$ et on utilisera les fonctions directionnelles.)

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9. 👍 Lagrangien. Soit ${\cal O}$ un ouvert, $f$ et $g$ deux fonctions $C^1$ sur ${\cal O}$. Soit ${\cal C}$ la contrainte non critique $\{x\in{\cal O}/g(x)=c\}$. Montrer que $x=(x_1,...,,x_n)$ est un point critique de $f$ sous la contrainte ${\cal C}$ ssi il existe $\lambda\in\R$ tel que $(x_1,...,x_n,\lambda)\in {\cal C}\times\R$ est un point critique de la fonction $(x_1,...,x_n,\lambda)\mapsto f(x)-\lambda (g(x)-c)$ définie sur l'ouvert ${\cal O}\times \R$.

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