Révisions d'analyse de première année pour la rentrée 2020

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👍 Soit $a\in\R^*$, $b\in\R^*$. Calculer la dérivée $n$-ième de $x\mapsto \dfrac {1}{ax+b}$ puis de $x\mapsto \dfrac {1}{ax^2+bx}$.
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👍 Démontrer que pour tout $x<1$, $\arctan\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\arctan(x)+\dfrac{\pi}4$. Justifier sans calcul qu'il existe une constante $k$ telle que, pour tout $x>1$, $\arctan\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\arctan(x)+k$. Préciser la valeur de $k$.
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Montrer que la fonction $x\mapsto \arctan\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)-\arctan(x)$ a une dérivée nulle et évaluer cette fonction constante en un point.

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- Posons pour tout $x<1$, $f(x)=\arctan\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)-\arctan(x)$.
  $f$ est dérivable sur $]-\infty,1[$ par composition. De plus $u:x\mapsto\dfrac{1+x}{1-x}$ a pour dérivée, $u':x\mapsto \dfrac 2{(1-x)^2}$. D'où: $$f'(x)=\dfrac{\dfrac 2{(1-x)^2}}{1+\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{\dfrac 2{{1-x}^2}\times (1-x)^2}{(1-x)^2+(1+x)^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{2}{2+2x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0$$ $]-\infty,1[$ est un intervalle, on peut alors en déduire que $f$ est constante sur cet intervalle. $f(0)=\arctan(1)-\arctan(0)=\dfrac{\pi}4$, ce qui permet de conclure.
- $f$ est aussi définie, dérivable sur $]1,+\infty[$ et le calcul de la dérivée de $f$ sur cet intervalle donne le même résultat. Pour trouver la constante on s'intéresse à la limite en $+\infty$. $\dfrac{1+x}{1-x}\to -1$ quand $x\to +\infty$ et ainsi $f(x)\to \arctan(-1)-\dfrac{\pi}2=-\dfrac{3\pi}4$ quand $x\to +\infty$. Ainsi $k=-\dfrac{3\pi}4$.
👍 Énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n \in\N$ pour une fonction définie sur un intervalle $I$. En déduire que pour $x\in\R^+$, $\left| \sqrt{1+x}-1-\dfrac x2+\dfrac {x^2}8\right|\leq \dfrac {x^3}{16}$.
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Appliquer TL à l'ordre $2$ avec $a=0$ et $b=x$.

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On applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$ à la fonction $f:t\mapsto\sqrt{1+t}$ sur $\R^+$ pour $a=0$ et $b=x$. On détermine un majorant de la VA de la dérivée 3-ième $f$:
pour tout $t\in\R^+$, $f'(t)=\frac 12(1+t)^{-\frac 12}$, $f''(t)=-\frac 14(1+t)^{-\frac 32}$, $f^{(3)}(t)=\frac 38(1+t)^{-\frac 52}$.
On remarque que $M=\dfrac 38$ est un majorant de $|f|$ sur $\R^+$.
On applique l'négalité de Taylor-Lagrange: $$\left|\sqrt{1+x}-\left(\displaystyle\sum_{k=0}^2 \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\right)\right|\leq \dfrac{|x-0|^3}{3!}\times\dfrac 38$$ d'où $$\left|\sqrt{1+x}-1-\frac x2+\frac{x^2}8\right|\leq \dfrac{|x-0|^3}{3!}\times\dfrac 38 (=\frac {x^3}{16}) $$
👍 Équivalents de $\dfrac{\sin(x)}x-\cos(x)$ et $\dfrac 1{x\ln(1-x)}+\dfrac 1{x^2}$ en $0$
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Pour le second, on pourra commencer par réduire au même dénominateur, puis trouver un équivalent du dénominateur et on cherche un équivalent du numérateur.

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- $\dfrac {\sin(x)}x$ et $\cos(x)$ sont équivalents à $1$ en $0$ donc ils se "compensent". Pour évaluer leur différence on utilise le DL3 en 0 du sinus et le DL2 en $0$ du $\cos$: $$\cos(x)\underset 0=1-\frac {x^2}2+o(x^2)$$ $$\dfrac{\sin(x)}x\underset 0=1-\dfrac{x^2}6+o(x^2)$$ D'où $\dfrac {\sin(x)}x-\cos(x)=\dfrac{x^2}3+o(x^2)$. Ainsi $\dfrac {\sin(x)}x-\cos(x)\underset 0{\sim}\dfrac{x^2}3$.
- $\dfrac 1{x\ln(1-x)}+\dfrac 1{x^2}=\dfrac {x+\ln(1-x)}{x^2\ln(1-x)}$. Or $x^2\ln(1-x)\underset 0{\sim}-x^3$ et $\ln(1-x)\underset 0=-x-\dfrac{x^2}2+o(x^2)$, d'où $x+\ln(1-x)\underset 0{\sim}-\dfrac{x^2}2$. Finbalement: $$\dfrac 1{x\ln(1-x)}+\dfrac 1{x^2}\underset 0{\sim}\dfrac 1{2x}$$
👍 Soit $f$ une fonction de classe $C^{\infty}$ sur $\R^+$ telle que pour tout $k\in\N$ et $x\in\R^+$, $f^{(k)}(x)\geq 0$.
Montrer, en utilisant un résultat du cours que, pour tout $x\geq 0$ et $n\in\N$, $$\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\leq f(x)\leq \displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\dfrac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}x^{n+1}$$
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Encadrer l'intégrale de la formule de Taylor qui va bien en utilisant les variations de $f^{(n+1)}$.

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En déduire la convergence de la série $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$.

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- On applique la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ puisque $f$ est de classe $C^{n+1}$ sur $\R^+$, pour tout $x\geq 0$: $$f(x)=\sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\dint_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$$ De plus pour tout $t\in[0,x]$, $(x-t)^n\geq 0$ et $f^{(n+1)}$ est croissante sur $[0,x]$ puisque sa dérivée, $f^{(n+2)}$ est positive sur cet intervalle. D'où: $$0\leq \dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t)\leq \dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(x)$$ par "intégration" de cette inégalité entre $0$ et $x$ puisque $0\leq x$, $$0\leq \int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t)dt\leq \int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(x)dt$$ d'où $$0\leq \int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{n+1}(t)dt\leq \left(\int_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}dt\right)f^{n+1}(x)$$ et cette dernière intégrale vaut $\displaystyle\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$. Ceci nous permet de conclure que la double inégalité proposée est vraie.
- La série $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ est à termes positifs et la suite de ses sommes partielles est majorée par $f(x)$. On sait alors d'après un résultat du cours que cela suffit pour dire que la série est convergente.
👍 Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Déterminer un équivalent de $\sqrt{1+x^{\alpha}}-1-\frac{\alpha}2 x$ en $0$ suivant les valeurs de $\alpha$. Et en $+\infty$?
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En $0$, les DL, en $+\infty$, factoriser les termes les plus "grands".

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- En $0$, on a $\sqrt{1+x^{\alpha}}-1\sim \dfrac 12 x^{\alpha}$. D'où:
  - Si $\alpha<1$, $x\underset 0=o(x^{\alpha})$, d'où $$\sqrt{1+x^{\alpha}}-1-\dfrac{\alpha}2 x\underset 0{\sim}\dfrac 12x^{\alpha}$$
  - Si $\alpha>1$, $x^{\alpha}\underset 0=o(x)$, d'où $$\sqrt{1+x^{\alpha}}-1-\dfrac{\alpha}2 x\underset 0{\sim}\dfrac 12x$$
  - Si $\alpha=1$, $\sqrt{1+x}\underset 0{=}1+\dfrac 12x-\dfrac 18 x^2+o(x^2)$, c'est le DL2 en $0$ de $x\mapsto \sqrt{1+x}$.
    D'où dans ce cas: $$\sqrt{1+x}-1-\dfrac 12x\underset 0{\sim}-\dfrac 18 x^2$$
- En $+\infty$: $\sqrt{1+x^{\alpha}}\underset{+\infty}\sim x^{\frac{\alpha}2}$ car $\sqrt{1+x^{\alpha}}=x^{\frac{\alpha}2}\sqrt{\frac 1{x^{\alpha}}+1}$. Ainsi :
  - Si $\alpha>2$, $x\underset{+\infty}{=}o(x^{\frac{\alpha}2})$ d'où: $$\sqrt{1+x^{\alpha}}-1-\dfrac {\alpha}2x\underset {+\infty}{\sim}x^{\frac{\alpha}2}$$
  - Si $\alpha<2$, $x^{\frac{\alpha}2}\underset{+\infty}{=}o(x)$ d'où: $$\sqrt{1+x^{\alpha}}-1-\dfrac {\alpha}2x\underset {+\infty}{\sim}-\frac{\alpha}2x$$
  - Si $\alpha=2$, $\sqrt{1+x^{2}}\underset{+\infty}{\sim}x$, d'où $\sqrt{1+x^{2}}-x\underset{+\infty}{=}o(x)$. Il faut trouver un équivalent de cette différence pour la comparer à $1$.
    $\sqrt{1+x^{2}}=x\sqrt{1+\dfrac 1{x^2}}\underset{+\infty}{=}x\left(1+\dfrac 1{2x^2}+o\left(\dfrac 1{x^2}\right)\right)=x+o(1)$.
    D'où $\sqrt{1+x^{2}}-x\underset{+\infty}{=}o(1)$ et ainsi: $$\sqrt{1+x^{2}}-1-x\underset{+\infty}{\sim}-1$$
👍 Montrer que la fonction $f:x\mapsto \dfrac x{\e^x-1}$ se prolonge par continuité en une fonction continue
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et dérivable sur $\R$. Montrer que ce prolongement est $C^1$ sur $\R$.
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👍 Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $I$. On suppose qu'il existe trois points de la courbe de $f$ qui sont alignés.
Montrer qu'il existe $c\in I$ tel que $f''( c )=0$.
😨 Réciproque?
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😱 Inégalité de Karamata - Soit $f$ une fonction convexe de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ et $(x_1,...,x_n)$, $(y_1,...,y_n)$ deux n-uplets décroissants de réels appartenant à $I$ ($n\geq 2$) tels que pour tout $k\in\zint{1,n-1}$, $\dsum_{i=1}^k x_i\leq \dsum_{i=1}^k y_i$ et $\dsum_{i=1}^n x_i=\dsum_{i=1}^n y_i$.
Montrer que $\dsum_{i=1}^n f(x_i)\leq \dsum_{i=1}^n f(y_i)$
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En déduire que si $I\subset]0,+\infty[$, $\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i\geq \displaystyle\prod_{i=1}^n y_i$.

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👍 Soit $f$ une fonction classe $C^p$ sur $\R^+$ et $n\in\N$. On pose, pour tout $x\in\R^+$, $g_n(x)=\dint_0^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f(t)dt$.
Montrer, en raisonnant par exemple par récurrence sur $n$, que $g_n$ est de classe $C^{n+p+1}$ sur $\R^+$ et que $g_n$ est la fonction nulle ssi $f$ est la fonction nulle.

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👍 Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels positifs telles que $u_n^n\to a$, $a>0$ et $v_n^n\to b$, $b>0$ quand $n\to +\infty$, $p$ et $q$ deux réels strictement positifs tels que $p+q=1$.
Déterminer la limite de $n\ln(u_n)$ et de $n\ln(v_n)$ quand $n\to +\infty$, puis en déduire $\dlim_{n\to +\infty}(pu_n+qv_n)^n$ en fonction de $a$ et $b$.
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😨 Soit $f$ une fonction $T$ périodique, dérivable sur $\R$. On suppose que $f$ s'annule en $p$ réels distincts appartenant à $[0,T[$. Montrer que $f'$ s'annule au moins $p$ fois sur $[0,T[$.
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