Frais du 30 Septembre 2021

1. 👍

   1. On considère une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\zint{0,n}$.

      Montrer que $\E(X)=\dsum_{k=1}^n\Pb([X\geq k])$.

      💁‍♂️
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   2. Soit $A_1,...,A_n$ des événements. On note pour tout $k\in\zint{1,n}$, $B_k$ l'événement " $k$ événements au moins parmi $A_1,...,A_n$ sont réalisés ".
      1. Définir une variable aléatoire $S_n$ telle que pour tout $k\in\zint{1,n}$,
         $[S_n\geq k]=B_k$.
      2. Montrer que l'on a alors $\E(S_n)=\dsum_{k=1}^n\Pb(A_k)$
         💁‍♂️
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         .
      3. En déduire que $\dsum_{k=1}^n\Pb(B_k)=\dsum_{k=1}^n\Pb(A_k)$, puis une généralisation de l'inégalité de Boole: $$\forall i\in\zint{1,n},\, \dsum_{k=1}^i\Pb(B_k)\leq\dsum_{k=1}^n\Pb(A_k)$$
      4. Soit $i\in\zint{1,n}$. On note $s_i$ la somme maximale que l'on peut obtenir en sommant, pour $i$ indices $k$ distincts deux à deux, les $\Pb(A_k)$.

         Montrer que: $\dsum_{k=1}^i\Pb(B_k)\geq s_i$.