Frais du 1 Septembre 2021

1. 👍 2021 - On considère la fonction $\varphi$ définie sur $]-\infty, 1]$ par : $$ \forall x \in \ ]-\infty, 1], \quad \varphi(x) = \begin{cases} x + (1-x) \, \ln(1-x) &\text{ si }x < 1 \\ 1 &\text{ si }x = 1 \end{cases} $$

   1. 1. Montrer que la fonction $\varphi$ est continue sur $]-\infty, 1]$.
      2. Justifier que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $]-\infty, 1[$ et calculer, pour tout $x \in \ ]-\infty, 1[$, $\varphi'(x)$.
      3. En déduire les variations de $\varphi$ sur $]-\infty, 1]$.
      4. La fonction $\varphi$ est-elle dérivable en $1$ ?
   2. Calculer la limite de $\varphi$ en $-\infty$.
   3. Tracer l'allure de la courbe représentative de $\varphi$ en soignant le tracé aux voisinages de $0$ et $1$.
   4. 1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $\dint_{0}^{1} t \, \ln(t) dt$ converge et calculer sa valeur.
      2. En déduire : $\dint_{0}^{1} \varphi(x) dx \ = \ \dfrac{1}{4}$.
      
      Dans la suite $x$ est un réel appartenant à $[0, 1[$.
   5. 1. Vérifier, pour tout $n$ de $\N^*$ et tout $t$ de $[0, x]$ : $\dfrac{1}{1-t} - \dsum_{k = 0}^{n-1} t^k \ = \ \dfrac{t^n}{1 - t}$.
      2. En déduire, pour tout $n$ de $\N^*$ : $-\ln(1-x) - \dsum_{k = 1}^{n} \dfrac{x^k}{k} \ = \ \dint_{0}^{x} \dfrac{t^n}{1 - t} dt$.
   6. 1. Montrer, pour tout $n$ de $\N^*$ : $0 \ \leq \ \dint_{0}^{x} \dfrac{t^n}{1 - t} dt \ \leq \ \dfrac{1}{(n+1) \, (1-x)}$.
         En déduire la limite de $\dint_{0}^{x} \dfrac{t^n}{1 - t} dt$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+\infty$.
      2. Montrer alors que la série $\dsum_{n \geq 1}{} \dfrac{x^n}{n}$ converge et que l'on a : $$\dsum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n}= -\ln(1-x)$$
   7. 1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que : $\forall n \in \N^*$, $\dfrac{1}{n \, (n+1)} \ = \ \dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n+1}$.
      2. En déduire que la série $\dsum_{n \geq 1}{} \dfrac{x^{n+1}}{n \, (n+1)}$ converge et que l'on a : $\dsum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{x^{n+1}}{n \, (n+1)} \ = \ \varphi(x)$.
      3. Montrer que la série $\dsum_{n \geq 1}{} \dfrac{1}{n \, (n+1)}$ converge et que l'on a encore : $\dsum_{n = 1}^ {+\infty} \dfrac{1}{n \, (n+1)}=\varphi(1)$.