Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire

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Nb d'énoncés:

1. 👍 Pour tout $n$ élément de $\mathbb{N}^{* }$ et tout $x$ réel, montrer que: $$\dfrac 12+\dsum_{k=1}^n \cos(kx)=\begin{cases} \frac {2n+1}2 & \text{ si }x\text{ est un multiple entier de }2\pi\\ \frac{\sin \left(\frac{2n+1}{2}x\right) }{2\sin \left( \frac{x}{2}\right)}&\text{ sinon.} \end{cases}$$

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2. 👍 Réaliser la linéarisation de $\cos^3(x)$. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $(1+\e^{i\theta})^n$ en fonction de $n\in\N$ et $\theta\in\R$.

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3. 👍 Soit $a\in\K^*$ et $P$ un polynôme unitaire de degré $p> 0$. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P(X+a)-P(X)$

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   . Quels sont les polynômes tels que $P(X+a)=P(X)$?

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4. 👍 Factoriser $X^4+X^2+1$ dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$

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5. 👍 Déterminer les polynômes $P\in\K_{2n}[X]$ tels que: $$2nXP(X)-(X^2-1)P'(X)=0$$

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6. 👍 Montrer, de deux manières différentes, que l'ensemble $F$ des polynômes $P$ appartenant à $E=\K[X]$ tel que $P(-1)=P(0)=P(1)$ est un s.e.v. de $E$. Si l'on pose $F_n=F\cap\K_n[X]$, $F_n$ est-il un s.e.v de $\K_n[X]$ et, si oui, 😨 quelle est sa dimension

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7. 😨 Soit $p\in\N$. Montrer que pour tout $P\in\K_p[X]$, il existe un unique $(a_0,...,a_p)\in\K^{p+1}$ tel que, pour tout $n\geq p$, $P(n)=n!\left(\dsum_{k=0}^p \dfrac {a_k}{(n-k)!}\right)$

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8. 👍 Soit $(e_1,...,e_n)$ une famille libre d'un ev $E$. Montrer que $(e_1+e_2,e_2+e_3,...,e_n+e_1)$ est une famille libre de $E$ ssi $n$ est impair

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   . Que dire de plus si $\text{dim}(E)=n$?

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9. 👍 Soit $f$ un endomorphisme de $E$, tel que $f^3+f^2=0$. Montrer que $E=\ker(f^2)\oplus\ker(f+\text{Id}_E)$

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   et que si $a\notin\{0,1\}$, $f+a\Id_E$ est injectif. 😨 Est-il un isomorphisme?

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10. 👍 On considère $F$, l'ensemble des $(x,y,z,t)$ apparternant à $\K^4$ tels que $x+y+z+t=0$ et $x-2y+z-3t=0$. Montrer que $F$ est un sev de $\K^4$ et déterminer une base de ce sev, puis une base d'un de ses supplémentaires.

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11. 👍 Montrer que la famille de polynômes $(X^k(X+1)^{n-k})_{k\in\zint{0,n}}$ est une base de $\K_n[X]$

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