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  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
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$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire

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Nb d'énoncés:

  1. 👍 Déterminer les matrices carrées d'ordre $n$ qui commutent avec $E_{k,\ell}$
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    . En déduire quelles sont les matrices qui commutent avec toutes les matrices
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    .
  2. 👍 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme de $\M_2(\K)$ qui à $M$ associe $AM-MA$
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    . Résoudre l'équation $AM-MA=2M$
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    .
  3. 👍 $n\geq 3$. Montrer que les applications $\phi$ et $\psi$, de $\K_n[X]$ dans lui-même, qui à $P(X)$ associe respectivement le quotient et le reste de $(X-1)^2P(X)$ par $X^{n+1}+X+1$, sont des endomorphismes de $\K_n[X]$
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    . Déterminer les matrices de $\phi$ et $\psi$ dans la base canonique, le noyau et l'image de ces endomorphismes lorsque $n=4$. 😨 Noyaux, images dans le cas général?
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    .
  4. 😨 Soit $(b_1,...,b_n)\in\K^n$ et $A=(a_{i,j})\in\M_n(\K)$ telle que $a_{i,j}=b_{\min(i,j)}$. Donner une CNS pour que $A$ soit inversible
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    .
  5. 👍 Soit $n\in\N$ et $P\in\K_n[X]$. Montrer que $(P(X)-1,P(X)-X,...,P(X)-X^n)$ est une base de $\K_n[X]$ ssi $P(1)\neq 1$
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    .
  6. 👍 Montrer que si $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ qui n'est semblable qu'à elle même, alors $A=\lambda\I_n$
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    .
  7. 👍 Démontrer que si $(A,B)\in\M_n(\K)^2$, $\tr(AB)=\tr(BA)$, plus généralement que, pour tout $k\in\N$, $\tr((AB)^k)=\tr((BA)^k)$
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  8. 👍 Soit $D$ et $\Delta$ deux matrices carrées diagonales d'ordre $n$ dont les éléments diagonaux sont positifs et telles que $D^2$ et $\Delta^2$ sont semblables. Montrer que $D$ et $\Delta$ sont semblables.
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  9. 👍 Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $n$ de même rang telles que $A^2=A$ et $B^2=B$. Montrer qu'il existe deux matrices carrées $U$ et $V$ telles que $A=UV$ et $B=VU$.
    💁‍♂️
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