Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
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  • 👍 à faire absolument, pour tous.
  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
  • 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 6 - Compléments de 2ième année en probabilité

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Nb d'énoncés:

  1. 👍 Soit $X$ et $Y$ deux var qui suivent la loi uniforme sur $[0,1]$ et qui sont indépendantes. Déterminer la loi de $Z=\{X+Y\}\overset{\text{déf.}}=X+Y-\entiere{X+Y}$
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    . 😨 Soit $X_1,...,X_n$ $n$ var mutuellement indépendantes qui suivent toutes la loi uniforme sur $[0,1]$. Déterminer la loi de $\left\{\dsum_{k=1}^n X_k\right\}$, en déduire $\E\left(\entiere{\dsum_{k=1}^n X_k}\right)$.
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    .
  2. 👍 Montrer que pour tout $\mu$ et $\nu$ strictement positifs, $\dint_0^1 t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt$ converge. En utilisant la convolution de deux lois Gamma, montrer que
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    😨 : $\dint_0^1 t^{\mu-1}(1-t)^{\nu-1}dt=\dfrac{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}{\Gamma(\mu+\nu)}$
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  3. 👍 Soit $F$ la fonction de répartition d'un couple $(X,Y)$ de v.a.r
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    , $G$ et $H$ deux fonctions de répartition telles que: $\forall (x,y)\in\R^2$, $F(x,y)=G(x)H(y)$. Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes de fonctions de répartition respectives $G$ et $H$
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    . 😨 Généraliser au cas d'un vecteur
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    .
  4. 👍 Si $X$ est une v.a.r positive à densité, de f.r. $C^1$ sur $\R^+$, on dit que $X$ peut modéliser une durée de vie si $g_X:t\mapsto \dlim_{h\to 0_+}\dfrac 1h\Pb_{[X>t]}([X\leq t+h])$ est définie et croissante sur $\R^+$ . Montrer que si $X$ et $Y$ peuvent modéliser des durées de vie et sont indépendantes alors $Z=\min(X,Y)$ aussi
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    .
  5. 👍 $x>0$, $\alpha>0$ et $X\hookrightarrow\gamma(x)$
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    . En utilisant la concavité ou la convexité de $t\mapsto t^{\alpha}$
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    , comparer $\E(X^{\alpha})$ et $x^{\alpha}$
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    . En déduire, $\forall x>1$ et $\forall\alpha\in]0,1[$ que, $\Gamma(x)x^{\alpha}\geq \Gamma(x+\alpha)\geq (x-1)^{\alpha}\Gamma(x)$, 😨 puis que $\Gamma$ est continue sur $]0,+\infty[$.
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  6. 👍 Soit $X_1,...,X_n$ des variables indépendantes à valeurs strictement positives qui suivent la loi uniforme sur $]0,1]$. On pose $Y_n=\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{k=1}^n X_k}$ (moyenne géométrique des $X_k$). Déterminer la loi de $Y_n$
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    .
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  7. 👍 Soit $\nu$ et $\mu$ deux réels strictement positifs et $X\suit \gamma(\nu)$, $Y\suit \gamma(\mu)$ avec $\nu<\mu$. Montrer, avec un argument probabiliste, que pour tout $x\in\R$, $\Pb([X\leq x])\geq \Pb([Y\leq x])$
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    . Déterminer pour quelle valeur de $x$ la différence $\Pb([X\leq x])-\Pb([Y\leq x])$ est maximale.
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  8. 👍 $X_1,...,X_n$ sont indépendantes et suivent la loi $\Nor(0,\frac 12)$. Loi de $S_n=\dsum_{k=1}^n X_k^2$ puis de $\sqrt S_n$.
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  9. 👍 Loi de la différence et du quotient 😨
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    de deux variables aléatoires réelles $X$ et $Y$ suivant la loi uniforme sur $]0,1]$ et indépendantes. Calculer $\E((X-Y)^2)$ et $\E\left(\frac {\sqrt{X}}{\sqrt{Y}}\right)$ de deux manières différentes.
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  10. 😨 Si $X_1,...,X_n$ suivent toutes la loi $\Expo(\lambda)$ et sont indépendantes. On pose $S_n=\left(\dsum_{k=1}^n X_k\right)$ et $M_n=\max(X_1,...,X_n)$. Déterminer $\dlim_{t\to +\infty}t^{n-1}\Pb_{[S_n>t]}([M_n>t])$
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    .
  11. 👍 Soit $f$ définie pour tout $x \in\R$ par $f(x)=\frac 12\e^{-|x|}$, $X\hookrightarrow \Expo(1)$ et $Y\hookrightarrow\B(\frac 12)$ indépendante de $X$. Montrer que $f$ est une d.d.p. de $(2Y-1)X$
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    et en déduire une méthode de simulation d'une variable aléatoire de d.d.p. $f$. Proposer aussi une méthode de simulation basée sur la méthode d'inversion
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