Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
Tout le cours.
Cliquer sur:
  • 💁‍♂️
    pour obtenir une indication.
  • 📚
    pour obtenir un énoncé du cours en rapport avec la question posée.
  • 👨‍🏫
    pour obtenir la solution
Certaines questions sont précédées d'un emoji:
  • 👍 à faire absolument, pour tous.
  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
  • 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 18 - Fonctions numériques de $n$ variables

Choisir filtres:

Filtres:

Nb d'énoncés:

  1. 👍 On dit qu'une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ est convexe si pour tout $(x,y)\in(\R^n)^2$, pour tout $t\in[0,1]$, $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$. Montrer que $f\in C^1(\R^n)$ est une fonction convexe ssi $\forall (x,y)\in(\R^n)^2$, $f(y)\geq f(x)+\ps{\nabla(f)(x),y-x}$.
    📚
    💁‍♂️
    Que peut-on en déduire si $x$ est un point critique de $f$ une fonction convexe?
    👨‍🏫
  2. 👍 Déterminer les fonctions de classe $C^1$ sur $\R^n$ pour lesquelles on a pour tout $x$, $\nabla(f)(x)$ orthogonal à $x$. Soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R$, on pose pour tout $x\in\R^n$, $f(x)=g\left(\|x\|^2\right)$. Montrer que $f\in C^1(\R^n)$ et qu'en tout point $\nabla(f)(x)$ est colinéaire à $x$.
    💁‍♂️
    👨‍🏫
  3. 👍 Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ et $F$ un sev de $\R^n$ tels que, pour tout $x\in \R^n$, $\nabla(f)(x)\in F$. Soit $p$ le projecteur orthogonal sur $F$. Montrer que pour tout $x\in\R^n$, $f(x)=f(p(x))$. Que peut-on en déduire si pour tout $x\in\R^n$, $\nabla(f)(x)=0_n$?
    💁‍♂️
    👨‍🏫
  4. 😨 Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ , $x$ un point non critique de $f$ et $h$ un vecteur de norme $1$ de $\R^n$. Montrer que $\partial_h(f)(x)$ est maximale lorsque $h=\dfrac{\nabla(f)(x)}{\|\nabla(f)(x)\|}$. Pour quels $h$ a-t-on $|\partial_h(f)(x)|$ minimale?
    👨‍🏫
  5. 😨 Soit $A\in\M_n(\R)$, symétrique. On identifie les éléments de $\R^n$ aux matrices colonnes d'ordre $n$. Pour tout $x\in\R^n$, on pose $f(x)=\,^tXAX$ où $X$ est la matrice de $x$ dans la base canonique de $\R^n$. Montrer que les ensembles de niveau de $f$ sont tous bornés ssi toutes les valeurs propres de $A$ sont non nulles et de même signe.
    💁‍♂️
    📚
    👨‍🏫
  6. 😨 Moindres carrés. Soit $A\in \M_{p,n}(\R)$ avec $p< n$, $B\in\M_{p,1}(\R)$ et $\lambda>0$. Pour tout $x\in\R^n$, si $X$ est la matrice de $x$ dans la base canonique, $f(x)=\|AX-B\|^2+\lambda\|X\|^2$. Déterminer l'unique point critique de $f$. Montrer qu'en ce point $f$ présente un minimum absolu.
    📚
    👨‍🏫
  7. 👍 Montrer que $\{(x,y)\in\R^2/ -1\leq x+y\leq 1\}$ est un fermé non borné de $\R^2$ et que $\{x=(x_1,...,x_n)/ x_1+...+x_n>1\text{ et }x_1^2+...+x_n^2<1\}$ est un ouvert borné de $\R^n$.
    📚
    📚
    👨‍🏫
  8. 👍 Montrer que ${\cal O}$, l'ensemble des $x=(x_1,...,x_n)$ tels que $\dsum_{k=1}^n x_k>0$ est un ouvert de $\R^n$. On pose $f(x_1,...,x_n)=2\ln\left(\dsum_{k=1}^n x_k\right)-\dsum_{k=1}^n x_k^2$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur ${\cal O}$ et possède un unique point critique sur ${\cal O}$ que l'on déterminera.
    💁‍♂️
    📚
    👨‍🏫
  9. 😨 Soit $f$ une fonction continue sur ${\cal K}$ qui est fermé borné, de classe $C^1$ sur l'ouvert ${\cal O}\subset{\cal K}$ et constante sur ${\cal K}\backslash{\cal O}$. Montrer qu'il existe $x\in{\cal O}$ tel que $\nabla(f)(x)=0_n$.
    💁‍♂️
    📚
    📚
    👨‍🏫
  10. 😨 Soit ${\cal F}$ une partie fermée non vide de $\R^n$. Soit $(x_k)_{k\in\N}$ une suite d'élements de ${\cal F}$ et $\ell\in\R^n$ tels que $\dlim_{k\to +\infty}\|x_k-\ell\|=0$. Montrer que $\ell\in{\cal F}$
    💁‍♂️
    📚
    👨‍🏫
    .
  11. 😨 Soit $\alpha>0$ et $\beta>0$, on considère la densité de probabilité $f_{\alpha,\beta}$ de la loi de Pareto définie par, pour tout $x\in\R$ par, $f_{\alpha,\beta}(x)=\alpha\left(\dfrac {\beta^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\right)$ pour $x\geq \beta$ et $0$ sinon. Soit $x_1,...,x_n$ des réels plus grands que $\beta$, on définit la vraissemblance $L(\alpha,\beta)=\disp\prod_{k=1}^nf_{\alpha,\beta}(x_i)$. Déterminer, en fonction de $x_1$,...,$x_n$, l'unique couple $(\alpha,\beta)$ qui maximise $L$. Etudier ces estimateurs.
    👨‍🏫
  12. 👍 On pose $f(x,y,z)=(z+1)\sqrt{x^2+y^2-z}$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur un ouvert non vide et possède un unique point critique qui est un point selle.
    👨‍🏫
  13. 👍 On pose $f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2-6y$ pour tout $(x,y)\in\R^2$. Déterminer les extremum locaux de $f$. Sont-ils globaux?
    👨‍🏫
  14. 👍 Soit \(f_{n}\) la fonction réelle définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par : \((x, y) \longmapsto f_{n}(x, y)=\left(x^{n}-y\right) e^{x-y}\) où \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Déterminer les points critiques de $f_n$ et déterminer les extrema locaux de $f_n$.
    👨‍🏫
  15. 😨 On pose $f(x_1,...,x_n)=2d\dsum_{k=1}^n x_k\ln(x_k)-\left(\dsum_{k=1}^n x_k\right)^2$ si tous les $x_i>0$ et $x_1+...+x_n< d$, avec $d>n$. Montrer que $f$ possède un unique point critique sur son ouvert ${\cal O}$ de définition et qu'elle présente un minimum absolu en ce point ( on montrera en particulier que si $x\in{\cal O}$ et $x+h\in{\cal O}$ alors pour tout $t\in]0,1[$, $x+th\in{\cal O}$ et on utilisera les fonctions directionnelles.)
    👨‍🏫