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Soit $E$ un espace euclidien et $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que pour tout $(x,y)\in E^2$, $\ps{u(x),y}=\ps{x,v(y)}\quad (1)$.
Établir que si $\B$ est une b.o.n. de $E$, on a $M_{\B}(v)=\,^t(M_{\B}(u))$
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En déduire que pour tout $u\in\L(E)$, il existe un unique endomorphisme $v\in\L(E)$ pour lequel on a $(1)$.
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On définit sur $E=\R_2[X]$ le produit scalaire $\ps{P,Q}=\dint_0^{1}P(t)Q(t)dt$.
Déterminer une b.o.n. de $E$ puis les coordonnées de $X^2$ dans cette base.
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Montrer que $P=(p_{i,j})$ est une matrice carrée d'ordre $n$ orthogonale alors $\left|\dsum_{1\leq i,j\leq n}p_{i,j}\right|\leq n$
Etudier les cas d'égalité.
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Sur $E=\R_n[X]$ on définit le produit scalaire $\ps{P,Q}=\dint_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)\e^{-t^2}dt$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par $f(P)=2XP'(X)-P''(X)$. Montrer que l'on a bien défini un produit scalaire et que $f$ est un endomorphisme symétrique de $E$ muni de ce produit scalaire.
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On définit sur $E=\R_n[X]$ le produit scalaire $\ps{P,Q}=\dint_0^{1}P(t)Q(t)dt$ et pour tout $k\in\zint{0,n}$, $Q_k(X)=(X^2-X)^k$, $P_k(X)=Q_k^{(k)}(X)$. Montrer pour tout $(i,j)\in\zint{0,n}^2$, par récurrence sur $k$ que pour $k\in\zint{0,i}$, $\ps{Q_i^{(i-k)},Q_j^{(j+k)}}=(-1)^k\ps{P_i,P_j}$. En déduire que la famille $(P_0,...,P_n)$ est une base orthogonale de $E$. Calculer $\|P_i\|^2$ et en déduire une b.o.n. de $E$.
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👍 On considère une famille de vecteurs $(e_1,..,e_n)$ d'un espace euclidien telle que, pour tout $x\in E$, $\|x\|^2= \dsum_{k=1}^n\ps{x,e_k}^2$. Montrer que $(e_1,...,e_n)$ est une famille génératrice de $E$
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😨 En supposant de plus que $\dim(E)=n$, montrer que c'est une base orthonormale.
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Soit $F$ et $G$ deux sous espaces vectoriels de l'espace euclidien $E$ tels que $F\subset G$. Montrer que $\dim(G\cap F^{\bot})=\dim(G)-\dim(F)$.
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👍 $\M_{n,1}(\R)$ est muni du ps canonique et $A\in\M_n(\R)$. Montrer que: $\ker(\,^tAA)=\ker(A)$, $(\ker(A))^{\perp}=\Im(\,^tA)$ et $(\Im(A))^{\perp}=\ker(\,^tA)$.
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Soit $a$ et $b$ deux vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien. On pose $f(x)=\langle x,b\rangle a+\langle x,a\rangle b$. Montrer que $f$ est un endomorphisme symétrique.
😨 Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$
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Sur $\R_n[X]$, on définit $\ps{P,Q}=\dint_0^1\dfrac{P(t)Q(t)}{\sqrt{t-t^2}}dt$ et l'endomorphisme $f$ par $f(P)=2(X-X^2)P''(X)+(1-2X)P'(X)$. Justifier que l'on a bien défini un produit scalaire sur $\R_n[X]$ et que $f$ est symétrique pour ce produit scalaire.
😨 Déterminer les hyperplans stables par un endomorphisme $f$ symétrique
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. À quelle condition leur nombre est-il fini?
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Soit $A\in \M_n(\R)$ une matrice symétrique. Montrer que l'application $f$ définie sur $\M_n(\R)$ par $M\mapsto AM-MA$ est un endomorphisme symétrique de $\M_n(\R)$ muni de son produit scalaire canonique $(M,N)\mapsto \tr(\,^tMN)$. Soit $(X_1,...,X_n)$ une b.o.n de vecteurs propres de $A$. Montrer que $(X_i\, ^tX_j)_{1\leq i,j\leq n}$ est une b.o.n de vecteurs propres de $f$.
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Déterminer la matrice dans la base canonique de $\R^5$, $(e_1,...,e_5)$, muni du produit scalaire canonique, du projecteur orthogonal sur le sous espace vectoriel $\text{Vect}(e_1+e_2-e_3,e_3+e_5,e_2-e_3)$
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Démontrer qu'il existe un unique polynôme $P$ de degré $2$, unitaire, à coefficients réels qui minimise l'intégrale $\dint_0^{+\infty}(P(t))^2\e^{-t}dt$, le déterminer ainsi que cette valeur minimale
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Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Construire une b.o.n de $\R^3$ formée de vecteurs propres de $A$ et en déduire une matrice $B$ symétrique réelle telle que $B^3=A$
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😨 Montrer qu'une telle matrice est unique.
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Soit $A\in\M_{n,p}(\R)$. Démontrer que $\ker(\,^tAA)=\ker(A)$, $\rg(\,^tAA)=\rg(A)=\rg(A\,^tA)$, et que les valeurs propres de $^tAA$ sont positives.
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En déduire un script Scilab permettant de générer aléatoirement des matrices symétriques carrées d'ordre $n$ à valeurs propres positives de rang $p$.
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Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $(X,Y)\mapsto\, ^tXAY$ définit un produit scalaire sur $\R^n$ si et seulement si $A$ est symétrique et ses valeurs propres sont toutes strictement positives
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../enoncesNum/E4150-DitOgTheoremSpectraFgeCasDesMatrice.php
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👍 Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$, symétrique réelle. Montrer que pour tout $X\in{\cal M}_{n,1}(\R)$, $\min(\text{Sp}(A))\|X\|^2\leq \,^tXAX\leq\max(\text{Sp}(A))\|X\|^2$ et expliciter les cas d'égalité
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Soit $\B=(e_1,...,e_n)$ et ${\cal C}=(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)$ deux bases orthonormées d'un espace euclidien $E$. On pose pour tout $i\in\zint{1,n}$, $v_i=\varepsilon_i-\alpha e_i$. Montrer que si $|\alpha|\neq 1$, $(v_1,...,v_n)$ est une base de $E$.
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👍 Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ est inversible ssi il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $X\in\M_{n,1}(\R)$, $\|AX\|\geq \alpha \|X\|$ où la norme est la norme euclidienne canonique sur $\M_{n,1}(\R)$.
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😨 Soit $u$ un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien $E$ dont les valeurs propres sont strictement positives. Montrer que $(x,y)\mapsto \langle x,u^{-1}(y)\rangle$ définit un deuxième produit scalaire sur $E$ que l'on note $( \,|\, )$. Soit $v\in\L(E)$ symétrique pour le premier produit scalaire. Montrer que $u\circ v$ est symétrique pour le produit scalaire $( \,|\, )$. Que peut-on en déduire?
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