TD8 - Révisions sur les matrices, aspects algébriques et vectoriels

1. 👍 On considère $\mathcal N$ l'ensemble des matrices de $A=(a_{i,j} )$ de $\M_{n} (\K)$ telles que: $$a_{i,j} =\left\{ \begin{array}{l} b\text{ si }i\neq j \\ a+b \text{ si }i=j \end{array} \right.$$ avec $(a,b)\in\K^2$.

   1. Montrer que $\mathcal{N}$ est un sev de $\M_{n} (\K)$ de dimension 2 , stable pour le produit .
   2. Calculer, pour tout $A$ de $\mathcal{N}$, $A^{p} $ où $p$ est un entier naturel non nul .
   3. Pour quelles valeurs de $(a,b)$, $A$ est-elle inversible ?
   4. Si $\K=\R$, étudier l'existence de $\displaystyle\lim_{p\to +\infty} A^p$.
2. 👍

   1. Dans cette question, $E$ est un espace vectoriel sur $\R$ de dimension $2$. On considère une base ${\cal B}=(e_1,e_2)$ de $E$ et l'application linéaire $f$ ayant pour matrice, dans la base ${\cal B}$ : $$M=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Montrer que $f$ est un projecteur dont on déterminera l'image et le noyau.
   2. Dans cette question, $E$ est un espace vectoriel sur $\R$ de dimension $3$. On considère une base ${\cal B}=(e_1,e_2,e_3)$ de $E$.

      La droite vectorielle engendrée par le vecteur $\varepsilon_1=e_1+3e_2-e_3$ est notée ${\cal D}$ et le plan engendré par les vecteurs $\varepsilon_2=e_1-e_3$ et $\varepsilon_3=2e_1-e_2$ est noté ${\cal P}$.

      1. Montrer que ${\cal D}\oplus{\cal P}=E$. Que peut-on dire de $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$?
      2. Déterminer la matrice, dans la base ${\cal B}$, du projecteur sur ${\cal P}$ parallèlement à ${\cal D}$ .
3. 👍 On considère la matrice $A=(a_{i,j})$ carrée d'ordre $n$ telle que: $a_{i,j}=j-i+1$ si $j\geq i$ et $0$ sinon.

   1. Justifier l'inversibilité de $A$.
   2. Si $x\in\R\backslash\{1\}$, donner une expression simple de $(1-x)\dsum_{k=1}^n kx^{k-1}$.
   3. Déterminer une matrice $B\in\M_n(\R)$ telle que $A=\dsum_{k=1}^n kB^{k-1}$. (on pourra dans un premier temps le faire avec $n=3$.)
   4. En déduire que $A^{-1}=(\I_n-B)^2$ et expliciter cette matrice.
4. 😨 - Soit $n\in\N^*$.

   1. On considère $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ non inversible, à coefficients réels.
      1. Justifier l'existence d'une matrice colonne $C$ d'ordre $n$ et d'une matrice ligne $L$, différentes des matrices nulles telles que: $AC=0_{n,1}$ et $LA=0_{1,n}$ où $0_{n,1}$ et $0_{1,n}$ désignent, respectivement, les matrices colonne et ligne nulles à $n$ coefficients.
      2. A quel ensemble de matrices, la matrice $CL$ appartient-elle? Montrer qu'elle n'est pas égale à la matrice nulle.
      3. En déduire l'existence d'une matrice non nulle $B\in\M_n(\R)$ telle que $AB$ et $BA$ soient égales à la matrice carrée nulle. Démontrer aussi que $A$ et $B$ vérifient: $$\forall p\in\N^*,\quad (A+B)^p=A^p+B^p$$
   2. On considère deux matrices carrées réelles non nulles d'ordre $n$, $U$ et $V$ telles que, $$\forall p\in\N^*,\quad (U+V)^p=U^p+V^p$$
      1. Montrer que $UV+VU=0_n$,$\,$ $U^2V+V^2U=0_n\,$ et $\, U^2V^2+V^2U^2=0_n$, où $0_n$ désigne la matrice carrée d'ordre $n$ nulle.
      2. En déduire que $(UV)^2=(VU)^2$, puis que $U^2V^2=0_n$. En conclure que $U$ et $V$ ne sont pas inversibles.
5. - 👍 - Soit $E$ un espace vectoriel réel; on note $\mathcal{L}(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$.

   Soient

   • $p$, $q$ deux éléments de $\mathcal{L}(E)$ non nuls et tels que $% p+q=\Id_E $.
   • $a$, $b$ deux réels distincts et non nuls.
   • $f$ un élément de $\mathcal{L}(E)$ tel que $f=ap+bq$ et $% f^{2}=a^{2}p+b^{2}q$.

   1. 1. Montrer que $(f-a\Id_E)\circ (f-b\Id_E)=(f-b\Id_E)\circ (f-a\Id_E)=0_{\L(E)}$.
      2. En déduire que $p\circ q=q\circ p=0_{\L(E)}$.
      3. Montrer que $p$ et $q$ sont des projecteurs.
   2. Prouver que pour tout entier $n$, $f^{n}=a^{n}p+b^{n}q$.
   3. 1. Calculer $f\circ \left(\dfrac{1}{a}p+\dfrac{1}{b}q\right)$.
      2. Montrer que $f$ est bijective et exprimer $f^{-1}$ à l'aide de $p$, $q$ , $a$ et $b$.

      On considère la matrice $M=\left( \begin{array}{ccc} 13 & -60 & 20 \\ 0 & 3 & 0 \\ -4 & 24 & -5% \end{array}% \right) $.

   4. 1. Montrer qu'il existe $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ tel que $% M^2=\alpha M+\beta \I_3$ et les déterminer.
      2. En déduire deux réels $a$ et $b$ tels que: $(M-a\I_3)(M-b\I_3)=0$.
      3. Montrer qu'il existe un couple $(A,B)$ d'éléments de $\mathcal{M}_{3}(% \mathbb{R})$ que l'on exprimera en fonction de $M$ et de $\I_3$ tel que: $ \left\{% \begin{array}{l} A+B=\I_3 \\ aA+bB=M% \end{array} \right.$
      4. En déduire la valeur de $M^{n}$ pour tout entier $n$.
6. - 👍 - Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On considère $F$ un sous-espace vectoriel de ${\cal M}_n(\R)$ de dimension $n^2-1$ stable par la multiplication matricielle i.e.: $$\forall (M,M')\in F^2,\quad MM'\in F.$$

   1. Pour quelle valeur de $n$, l'ensemble des matrices triangulaires supérieures possède-t-il les propriétés de $F$?

      On suppose, par l'absurde, que $I_n\notin F$, où $I_n$ désigne la matrice identité de ${\cal M}_n(\R)$.

   2. Montrer que ${\cal M}_n(\R)=F\oplus \Vect(I_n)$.
   3. Soit $p$ le projecteur de ${\cal M}_n(\R)$ sur $\Vect(I_n)$ parallèlement à $F$.
      1. Montrer que: $\forall (M,M')\in ({\cal M}_n(\R))^2$, $p(MM')=p(M)p(M')$.
      2. Montrer que pour toute matrice $M$ de ${\cal M}_n(\R)$ telle que $M^2$ appartienne à $F$, alors $M$ appartient à $F$.
   4. Soit $(E_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la base canonique de ${\cal M}_n(\R)$ ($E_{i,j}$ est la matrice de ${\cal M}_n(\R)$ ne contenant que des $0$ sauf à l'intersection de la $i$-ième ligne et de la $j$-ième colonne où se trouve un $1$).
      1. Calculer $E_{i,j} E_{k,\ell}$ pour $i,j,k,\ell$ éléments de $\zint{1,n}$.
      2. Montrer que $F$ contient la base canonique de ${\cal M}_n(\R)$. Conclure.
   5. Soit $A$ une matrice inversible appartenant à $F$. On considère $\Phi$ l'application qui à $M\in F$ associe $AM$.
      1. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme de $F$.
      2. En déduire que $A^{-1}\in F$.
7. - 👍 - Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ de $\R^3$ est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}.$$ On note $\text{Id}$ l'endomorphisme identité de $\R^3$.

   1. 1. Calculer $A^2$ et $A^3$, puis déterminer un polynôme annulateur de $f$.
      2. Trouver une base $\B$ de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est $T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}$.
   2. 1. Montrer que $\R^3=\ker(f^2)\oplus\ker(f-2\text{Id})$.
      2. On veut montrer qu'il n'existe pas d'endomorphisme $g$ de $\R^3$ vérifiant : $g^2=f$.

         On suppose pour cela qu'un tel endomorphisme existe.

         Etablir que $\ker(f^2)$ est stable par $g$, puis montrer que la matrice de $g$ dans la base $\B$ est de la forme : $$G=\begin{pmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\\0&0&c''\end{pmatrix}.$$ En utilisant la matrice de $f$ dans cette même base, trouver une contradiction et conclure.

   3. Etude d'un cas plus général.

      On note $\text{Id}$ l'endomorphisme identité de $\R^n$ (où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $1$) et on désigne par $\alpha$ un réel non nul.

      1. On considère un endomorphisme $h$ de $\R^n$ et on suppose que $h^n=\alpha h^{n-1}$.

         Montrer que : $\R^n=\ker(h^{n-1})\oplus\ker(h-\alpha\text{Id})$.

      2. Montrer réciproquement que, si un endomorphisme $h$ de $\R^n$ est tel que $\R^n=\ker(h^{n-1})\oplus\ker(h-\alpha\text{Id})$, alors on a : $h^n=\alpha h^{n-1}$.
8. - 👍

   • Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On désigne par $I_{n}$, la matrice unité de $\M_{n}(\mathbb{C})$.
   • On considère un $n$-uplet $(a_{0},a_{1},...,a_{n-1})$ de $\mathbb{C}^{n}$ et le polynôme : $$ P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0} $$
   • On note $C$ la matrice de $\M_{n}(\mathbb{C})$ définie par $C=% \begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & -a_{0} \\ 1 & \ddots & (0) & & \vdots & -a_{1} \\ 0 & \ddots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & (0) & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & -a_{n-1}% \end{pmatrix}% $
   • On dit que $C$ est la matrice compagnon du polynôme $P$.
   • On note $\mathcal{B}=(e_{1},\dots ,e_{n})$ la base canonique de $\mathbb{% C}^{n}$.
   • On note $\Id$ l'application identité de $\mathbb{C}^{n}$ et on appelle $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^{n}$ canoniquement associée à $C$.

   1. 1. Exprimer, pour tout $i\in\zint{1,n-1}$, $f(e_{i})$ en fonction de $e_{i+1}$.
      2. En déduire :$\quad \forall j\in\zint{1,n-1},\;f^{j}(e_{1})=e_{j+1}$ et $f^{n}(e_{1})=-(a_{0}e_{1}+a_{1}e_{2}+% \cdots +a_{n-1}e_{n})$.
   2. Soit $g$ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^{n}$ défini par $% g=f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}\Id$.
      1. Vérifier :$\quad g(e_{1})=0$.
      2. Montrer :$\quad \forall i\in \mathbb{N},\;g\circ f^{i}=f^{i}\circ g$.
      3. En déduire :$\quad \forall i\in\zint{1,n},\;g(e_{i})=0$. Que peut-on dire du polynôme $P$ vis à vis de l'endomorphisme $f$?

         Application: Déterminer une matrice $A\in \M_{5}(% \mathbb{C})$ telle que $A^{5}=A^{3}+2A^{2}+I_{5}$.

   3. 1. Soit $Q=b_{0}+b_{1}X+\cdots +b_{n-1}X^{n-1}$ un polynôme non nul et de degré inférieur ou égal à $n-1$.

         On note $Q(f)$ l'endomorphisme de $\mathbb{C}^{n}$ défini par $Q(f)=b_0 \Id+b_{1}f+\cdots +b_{n-1}f^{n-1}$.

         Calculer $Q(f)(e_{1})$.
      2. En déduire qu'il n'existe pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à $n-1$ et annulateur de $f$.
      3. Soit $\lambda $ une racine du polynôme $P$. Il existe donc un unique polynôme $R\in \mathbb{C}[X]$ tel que $P=(X-\lambda )R$.

         Justifier brièvement que $(f-\lambda \Id)\circ R(f)=\tilde{0}$, où $\tilde{0}$ est l'endomorphisme nul de $\mathbb{C}^{n}$.

      4. En déduire que $\ker(f-\lambda \Id)$ n'est pas réduit au vecteur nul.
      5. Montrer que, pour tout nombre complexe $x$, la matrice $C-x\I_{n}$ est de rang supérieur ou égal à $n-1$. En déduire que pour tout $\lambda$ racine de $P$, $\dim(\ker(f-\lambda\Id))=1$.
9. 👍 Soit $(\Omega,\A,\Pb)$ un espace probabilisé, $X$ et $Y$ deux v.a.r.d. sur cette espace telles que: $X(\Omega)=\{x_1,...,x_n\}$ et $Y(\Omega)=\{y_1,...,y_p\}$, chacune de ces valeurs étant prise avec une probabilité non nulle. On note $\Pi$ la matrice d'élément générique $\Pb([X=x_i]\cap[Y=y_j])$.

   1. Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si ${\rm rg}(\Pi)=1$
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   2. On suppose que $p\leq n$ et que $Y=f(X)$ . Montrer que ${\rm rg}(\Pi)=p$
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   3. On suppose que $(\Omega,\A,\Pb)$ est l'espace probabilisé associé à l'expérience qui consiste à effectuer deux tirages successifs sans remise dans une urne qui contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. $X$ est le premier numéro tiré et $Y$ le second.

      Déterminer le rang de $\Pi$.