TD6 - Fin des compléments de première année en probabilité

1. 👍 Une urne contient 2 boules blanches, numérotées 1 et 2, et une boule noire. On effectue des tirages successifs d'une boule, avec remise, jusqu'à l'apparition de la noire, où on arrête l'expérience. On appelle $N$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées et $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenus.

   1. Déterminer la loi de $N$. Quelle est la probabilité de l'événement: "la noire n'apparaît jamais"?
   2. Déterminer l'espérance conditionnelle de $X$ sachant que $[N=n]$ est réalisé
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   3. En déduire que $\E(X)$ existe et déterminer sa valeur.
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   4. Montrer aussi que $\V(X)$ existe et la calculer.
2. 👍 Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour tout couple $(i,j)\in\zint{1,n}^2$, on pose $p_{i,j}=a(i+j)$.

   1. Calculer $a$ pour que les $(p_{i,j})$ définissent la loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ à valeurs dans $\zint{1,n}^2$
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      Soit $(X,Y)$ un tel couple.

   2. Déterminer les lois marginales
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      . $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
   3. Calculer la covariance du couple $(X,Y)$
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   4. Pour tout $i\in\zint{1,n}$, calculer $\E_{[X=i]}(Y)$ et vérifier que c'est une fonction décroissante de $i$ à $n$ fixé
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      . Était-ce prévisible?
3. 👍 $p\in]0,1[$ et $q=1-p$. On suppose que la loi d'un couple $(X,Y)$ de variables discrètes à valeurs dans $\N^*\times\N^*$ est donné par: $$\Pb([X=i]\cap[Y=j])=\begin{cases}\dfrac{pq^{j-1}}{(j-i)!}a&\text{ si }1\leq i\leq j\\ 0 &\text{ sinon.} \end{cases} $$ où $a$ est un réel à déterminer.

   1. Montrer que pour tout $i\in\N^* $, $\dsum_{j=i}^{+\infty}\dfrac {pq^{j-1}}{(j-i)!}=pq^{i-1}\e^q$. En déduire que $a=\e^{-q}$
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   2. Reconnaître la loi de $X$. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
   3. Montrer que $\E(Y)=\dfrac {1+pq}p$ et $\E(XY)=\dfrac {pq+q+1}{p^2}$
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      . En admettant son existence, en déduire que $\cov(X,Y)=\dfrac q{p^2}$
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4. 👍 - 2018 - On effectue des lancers d'une pièce donnant pile avec la probabilité $p$, élément de $]0,1[$, et donnant face avec la probabilité $q = 1-p$, les différents lancers étant supposés indépendants. Pour tout entier naturel $k$ non nul, on note $P_k$ (resp. $F_k$) l'événement : "la pièce donne pile (resp. face) au $k$-ième lancer", on note également $S_k$ le rang du $k$-ième pile et $T_k$ le rang d'apparition du dernier pile de la première série de $k$ piles consécutifs.

   On suppose que $S_k$ et $T_k$ sont deux variables aléatoires toutes deux définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},P)$.

   Par exemple, si les lancers donnent $F_1,P_2,F_3,P_4,F_5,P_6,P_7,P_8$, alors $S_1$ et $T_1$ prennent la valeur $2$, $S_2$ prend la valeur $4$, $T_2$ prend la valeur $7$, $S_3$ prend la valeur $6$, $T_3$ prend la valeur $8$, $S_4$ prend la valeur $7$ et $S_5$ prend la valeur $8$.

   1. Compléter les lignes du script Scilab suivant pour qu'il affiche la valeur prise par $S_k$ lorsque $k$ et $p$ sont entrés par l'utilisateur :

      k = input('donnez une valeur pour k :')
      p = input('donnez une valeur pour p :')
      n = 0
      c = 0
      while c< k
      	n=n+1
      	if - - - then c = c+1 
      	end
      end
      disp(- - -)
      

   2. On souhaite que le script précédent affiche la valeur prise par $T_k$. Remplacer la ligne $7$ par la suivante, dûment complétée :

      if - - - then c = c+1, else - - - 
      

   3. Soit $k$ un entier naturel $\geq 2$. Pour tout entier naturel $n\geq k$, on note $X_{n-1}$ la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus lors des $n-1$ premiers lancers.
      1. Donner la loi de $X_{n-1}$.
      2. Donner $S_k(\Omega)$ puis écrire l'événement $[S_k = n]$ à l'aide de la variable $X_{n-1}$.
      3. En déduire que la loi de $S_k$ est donnée par : $$\forall n \geq k, \, P(S_k=n) = \binom{n-1}{k-1}p^k q^{n-k}.$$
   4. Soit $k$ un entier $\geq 2$. On pose $Z_1 = S_1$ et, pour tout entier $i\geq 2$, on pose $Z_i = S_i - S_{i-1}$. On admet que $(Z_i)_{i \in \N^*}$ est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
      1. Donner la loi des variables aléatoires $Z_i$.
      2. Exprimer $S_k$ à l'aide de certaines des variables $Z_i$.
      3. En déduire que $S_k$ possède une espérance et donner sa valeur.
   5. Soit $k\geq 2$. On admet que $T_k$ possède une espérance que l'on se propose de déterminer.
      1. Justifier, en utilisant la variable aléatoire $W$ égale au rang du premier face lors de l'expérience décrite au début de ce problème, que les événements $F_1,P_1 \cap F_2,P_1 \cap P_2 \cap F_3,P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap F_4,\dots,P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k$ et $P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k$, forment un système complet d'événements.
      2. Montrer que, pour tout entier $n\geq k$, on a $P_{F_1}(T_k = n) = P(T_k = n-1)$, puis en déduire que l'espérance conditionnelle $E(T_k \vert F_1)$ est égale à $1+E(T_k)$.
      3. De la même façon, déterminer, pour tout $i\in \zint{ 2,k}$, la valeur de $E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)$.
      4. Justifier que $E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_k) = k$.
   6. 1. Déduire des questions précédentes la relation : $E(T_k) = \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq + E(T_k) \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} p^j q + kp^k.$
      2. Etablir finalement que : $\displaystyle E(T_k) = \frac{1-p^k}{qp^k}.$
5. 👍 Soit $X$ et $Y$ deux var discrètes qui suivent la loi $\cal{G}( p )$ et sont indépendantes.

   1. Calculer les probabilités suivantes : $\Pb([X=Y])\,,\, \Pb([X\geq 2Y])\,$
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   2. $U=\min(X,Y)$ et $V=X-Y$. Montrer que $U$ et $V$ sont indépendantes
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   3. Déterminer la loi de $|V|$.
   4. Calculer l'espérance de $U$
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   5. On suppose que $Z$ suit aussi la loi $\cal{G}( p )$ et est indépendante de $X$ et de $Y$. Calculer $\Pb([X+Y\leq Z])$.
6. 😨 Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance et telles que:

   • pour tout $x$ tel que $\Pb([X=x])\neq 0$,$\quad\E_{[X=x]}(Y)\geq x$ et
   • pour tout $y$ tel que $\Pb([Y=y])\neq 0$,$\quad\E_{[Y=y]}(X)\geq y$.

   On va montrer que $X=Y$ presque surement.

   Pour cela, on considère une fonction $f$ définie sur $\R$, strictement croissante, bornée et on pose: $$Z=(X-Y)(f(X)-f(Y)).$$

   1. Montrer que $Z$ est à valeurs positives et possède une espérance.
   2. On suppose que $\E(Z)=0$. Que peut-on en déduire pour $Z$
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      ? Démontrer-le (on pourra utiliser l'inégalité de Markov)
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   3. Comment modifier la fonction $f$ sans changer $Z$ pour que $f$ possède en plus la propriété d'être à valeurs positives?
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      . On suppose dés lors que $f$ est à valeurs positives.
   4. Un exemple d'une telle fonction. Montrer que la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\arctan(x)+\dfrac{\pi}2$ a toutes les propriétés requises.
   5. 1. Établir, en utilisant la formule de l'espérance totale
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         , l'inégalité $\E\left(Xf(Y)\right)\geq \E(Yf(Y))$
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      2. En déduire que $\E(Z)\leq 0$. Conclure.
7. 😱 On considère $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes sur un espace probabilisé $(\Omega,\A,\Pb)$ qui admettent des moments d'ordre $2$.

   Le but de cet exercice est de déterminer une fonction $\varphi$ telle que
   $\E((Y-\varphi(X))^2)$ soit minimale. On étudie d'abord deux cas particuliers puis le cas général et deux exemples pour finir.

   On note $X(\Omega)=\{x_i/i\in I\}$, pour tout $i\in I$, $A_i=[X=x_i]$ et $\varphi$ une fonction définie sur un ensemble $D$ contenant $X(\Omega)$.

   On rappelle que si $Z$ est une variable aléatoire admettant une espérance et $A$ un événement non négligeable, $\E_A(Z)$ existe.

   1. On suppose que $X$ est constante donc on pose $X=a$ et $b=\varphi(X)=\varphi(a)$. Montrer que si $b=\E(Y)$, alors $\varphi$ convient.

      On suppose désormais que $X$ n'est pas presque sûrement constante.

   2. Dans cette question, on résoud le problème posé lorsque $\varphi$ est une fonction affine telle que, pour tout $t\in\R$, $\varphi(t)=at+b$.
      1. Montrer que $$\E((Y-\varphi(X))^2)=\V(Y-aX)+(\E(Y)-\E(\varphi(X)))^2$$ après avoir justifier les existences des moments qui interviennent dans cette égalité.
      2. Établir que $\V(Y-aX)$ est minimale lorsque $a$ vaut $\dfrac{\cov(X,Y)}{\V(X)}.$
      3. En déduire que $\E((Y-\varphi(X))^2)$ est minimale pour $$a=\dfrac{\cov(X,Y)}{\V(X)}\text{ et }b=\E(Y)-\dfrac{\cov(X,Y)}{\V(X)}\E(X).$$

      On revient au cas général en supposant que $\varphi$ est telle que $\E\left((\varphi(X))^2\right)$ existe.

      1. Montrer que $\E((Y-\varphi(X))^2)$ existe et que: $$\E((Y-\varphi(X))^2)=\dsum_{i\in I}\E_{A_i}((Y-\varphi(x_i))^2)\Pb(A_i).$$
      2. Établir que pour tout $i\in I$ tel que $\Pb(A_i)\neq 0$, $$\E_{A_i}\left((Y-\varphi(x_i))^2\right)\geq \E_{A_i}\left((Y-\E_{A_i}(Y))^2\right).$$
      3. En conclure que si $\varphi$ est telle que pour tout $i\in I$ tel que $\Pb(A_i)\neq 0$, $\varphi(x_i)=\E_{A_i}(Y)$ alors $\E((Y-\varphi(X))^2)$ est minimale. Que vaut dans ce cas $\E(\varphi(X))$? Que vaut $\varphi(x_i)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes?
      4. Vérifier que $\dsum_{i\in I}(\E_{A_i}(Y))^2\Pb(A_i)$ est convergente.
   3. Un premier exemple. On effectue une suite d'expériences de Bernoulli indépendantes ayant toutes la même probabilité de succès $p$. On note $X_i$ la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus après $i$ expériences.
      
      Calculer, pour tout $k\in\zint{0,i}$, $\E_{[X_i=k]}(X_{i+1})$. En déduire que la fonction définie par, $\forall t\in\R$, $\varphi(t)=t+p$ convient pour $X=X_i$ et $Y=X_{i+1}$.
   4. Un deuxième exemple. On effectue une suite de tirages d'une boule avec remise dans une urne qui comporte $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On note $X_i$ le plus grand des numéros obtenus sur les $i$ premiers tirages.
      1. Soit $k\in\zint{1,n}$.
         Établir que, pour tout $i\in\N^*$ et $\ell\in\zint{1,n}$: $$\Pb_{[X_i=k]}([X_{i+1}=\ell])=\begin{cases}0 & \text{ si }\ell< k \\ \frac{k}n & \text{ si }\ell=k \\ \frac 1{n} & \text{ sinon.}\end{cases}$$
      2. En déduire que, pour tout $i\in\N^*$, $\E_{[X_i=k]} (X_{i+1})=\dfrac{n+1}2+\dfrac{k(k-1)}{2n}$, puis définir, pour cette exemple, la fonction $\varphi$ obtenue dans la question 3.c) pour $X=X_i$ et $Y=X_{i+1}$.