👍 On pose $f(x)=\dint_x^{+\infty}\dfrac{\e^{-t}}tdt$. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$
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, $f(x)\underset{+\infty}=o(\e^{-x})$
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puis que
😨 $f(x)\underset{0}{\sim}-\ln(x)$
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En déduire la convergence et la valeur de $\dint_0^{+\infty}f(x)dx$.
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Convergence et valeur de $\dint_0^{+\infty}\sin(x)\e^{-\alpha x}dx$ avec $\alpha >0$.
👍 Convergence de $I_n=\dint_0^{+\infty}\dfrac 1{(1+t^3)^n}dt$ où $n$ est un entier naturel
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Se connecter . Montrer que la suite $(I_n)_{n\geq 1}$ est convergente et établir une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$.
😨 En utilisant une série, montrer que $I_n\to 0$
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👍 Soit $(a,b,c)$ un triplet de réels non tous nuls. Convergence et calcul de $\dint_{-\infty}^{+\infty}\exp(ax^2+bx+c)dx$.
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😨
Soit $f$ une fonction continue sur $\R^+$ admettant une limite finie $\ell$ en $+\infty$.
Montrer que $\dint_0^{+\infty}(f(t+1)-f(t))dt$ est convergente. Réciproque?
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👍 Convergence et valeur de $\dint_{-\infty}^{+\infty}t^2\exp(-t^2+t)dt$.
😨 Étudier aussi la convergence de $\dint_0^{+\infty}\exp\left(-t+t^{\alpha}\right)dt$ pour $\alpha>0$.
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😨 $f$ est une fonction de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$ qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{f(2t)-f(t)}tdt$ converge.
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😨 Soit $f$ une fonction continue sur $\R^+$ telle que $\dint_0^{+\infty}f(t)dt$ converge. Montrer que pour tout $a\geq 0$, $\dint_0^{+\infty}f(t)\e^{-at}dt$ converge.
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👍 Convergence et valeur de $\dint_{0}^{1}t^{\alpha}(\ln(t))^n dt$ lorsque $\alpha\in\R^+$ et $n\in\N$
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👍 Montrer que pour tout $x\in\R$, $\dint_x^{+\infty}\e^{-t^2}dt$ converge. On pose alors $f(x)=\dint_x^{+\infty}\e^{-t^2}dt$ pour tout $x$ réel. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R$, strictement décroissante sur $\R$, de limite nulle en $+\infty$ et pour finir que
😨 $f(x)\underset{+\infty}{\sim}\dfrac{\e^{-x^2}}{2x}$
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👍 Etudier la définition et les variations de la fonction $f$ définie par: $f(x)=\dint_0^1\dfrac 1{1+t^x+t^{2x}}dt$. Montrer que $\dlim_{x\to +\infty}f(x)=1$, $\dlim_{x\to -\infty}f(x)=0$.
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Montrer que pour tout $x\in]0,1]$, $x\ln(x)\in[-\frac 1{\e},0]$ et que:
$$\left|\e^{x\ln(x)}-\dsum_{k=0}^n \dfrac{x^k(\ln(x))^k}{k!}\right|\leq \dfrac 1{(n+1)!\e^{n+1}}$$
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En utilisant le changement de variable $x=\e^{-\frac t{k+1}}$, calculer $\dint_0^1 x^k(\ln(x))^kdx$
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puis montrer que:
$$\dint_0^1x^xdx\text{ converge et vaut}\dsum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^k}$$
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Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $W$: $$W(x)=\dint_0^{\pi/2}(\sin(t))^xdt$$ Montrer que $W$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition. Etablir une relation entre $W(x+2)$ et $W(x)$.
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Soit $f$ une fonction continue sur $\left[0,1\right]$. Pour tout $x\in\left[0,1\right[$,
on pose $
F(x)=\dint_x^1\dfrac{f(t)}{\sqrt{t-x}} dt.$ Montrer que $F$ est bien définie sur $\left[0,1\right[$
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Se connecter . Déterminer la limite de $F$ en $1$
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