- 💁♂️pour obtenir une indication.
- 📚pour obtenir un énoncé du cours en rapport avec la question posée.
- 👨🏫pour obtenir la solution
- 👍 à faire absolument, pour tous.
- 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
- 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
TD3 - Révisions 1 des probabilités
Filtres:
Nb d'énoncés:
-
👍 $n\in\N^*$, $k\in\N^*$ et les $x_i$ sont des éléments de $\zint{1,n}$.
Combien y-a-t-il de :
- de $k$-listes $(x_1,...,x_k)$ tel que $x_1>...>x_k$ 📚?
- de $k$-listes $(x_1,...,x_k)$ dont l'un au moins des $x_i$ est égal à $r$ si $r$ appartient à $\zint{1,n}$
📚📚?
- de $k$-listes $(x_1,...,x_k)$ tel que les $x_i$ soient 2 à 2 distincts et $x_j=\displaystyle\max_{i}{x_i}$ (resp. $x_j=\displaystyle\min_{i}{x_i}$) où $j\in\zint{1,k}$ 📚?
- de $k$-listes $(x_1,...,x_k)$ dont le plus grand élément est inférieur (resp. égal, supérieur) à $a$ où $a\in\zint{1,n}$ 📚? Le plus petit supérieur (resp. égal, inférieur) à $a$?
- de $k$-combinaisons $\{x_1,...,x_k\}$ dont $a$ est un élément?
- de $k$-combinaisons $\{x_1,...,x_k\}$ dont le plus grand élément est inférieur (resp. égal, supérieur) à $a$
📚? le plus petit supérieur (resp. égal, inférieur) à $a$?
Pour chaque dénombrement ci-dessus, définir, une expérience aléatoire, un espace probabilisé, un événement correspondant à l'ensemble dénombré et calculer alors la probabilité de cet événement (il peut y avoir et vous pouvez proposer plusieurs solutions).
- de $k$-listes $(x_1,...,x_k)$ tel que $x_1>...>x_k$
-
👍 Miscellanées📚
- Quelle est la probabilité pour qu'en répartissant au hasard les 52 cartes d'un jeu de bridge en 2 paquets de 26 cartes, chacun contienne 13 rouges et 13 noires ?
- Quelle est la probabilité pour que en prélevant un échantillon de taille $r$ d'une population de taille $n$, on trouve dans cette échantillon $k$ éléments désignés à l'avance ($k\leq r$)? Montrer que cette probabilité tend vers $p^{k}$ lorsque $r=np$ et $n$ tend vers l'infini.
- Quelle est la probabilité pour que 2 échantillons de taille $r $ extraits au hasard et indépendamment d'une population de taille $n$, n'aient pas d'éléments en commun?
-
👍
- Si $n$ et $r$ sont deux entiers naturels et $k\in\zint{r,n}$, montrer que:
$$\displaystyle\binom{k}{r}\binom{n}{k}=\binom{n}{r}\binom{n-r}{k-r}$$
En déduire les valeurs de $\dsum_{k=0}^n k\binom nk$ et $\dsum_{k=0}^n k^2\binom nk$
💁♂️📚📚.
- Si $n\in\N$ et $p\in\zint{0,n}$, établir l'égalité
$$\sum_{k=p}^{n}\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}$$
💁♂️📚
- Pour $n\in\N^*$, montrer que:
$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\,;
\sum_{k=0}^{\entiere{\frac n2}}\binom{n}{2k}=\sum_{k=0}^{\entiere{\frac {n-1}2}}\binom{n}{2k+1}=2^{n-1}$$
💁♂️
- Vandermonde: lorsque $n$, $p$ et $q$ sont des entiers naturels tels que $0\leq n\leq p+q$, montrer que: $$\sum_{k=0}^{n}\binom{p}{k}\binom{q}{n-k}=\binom{p+q}{n}$$
💁♂️📚
- Pour $n$ et $k$ entiers naturels non nuls, établir que:
- $\displaystyle\binom nk\underset{n\to +\infty}{\sim}\dfrac{n^k}{k!}\,$; $\,\left(\dfrac{n}{k}\right)^k\leq\displaystyle\binom nk\leq\dfrac{n^k}{k!}$ pour $k\leq n$.
- $\displaystyle\binom{n+k}n\leq \left(1+\frac nk\right)^k\left(1+\frac kn\right)^n$.
💁♂️
- Si $n$ et $r$ sont deux entiers naturels et $k\in\zint{r,n}$, montrer que:
$$\displaystyle\binom{k}{r}\binom{n}{k}=\binom{n}{r}\binom{n-r}{k-r}$$
En déduire les valeurs de $\dsum_{k=0}^n k\binom nk$ et $\dsum_{k=0}^n k^2\binom nk$
-
2019 - 👍
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages d'une boule dans cette urne. Après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l'urne, et on rajoute dans l'urne une boule de couleur opposée à celle qui vient d'être tirée.
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé $( \Omega , \mathcal{\ T } , \mathbb{\ P } )$
Pour tout $k\in \mathbb{N}$, on note $X_{k}$ le nombre de boules blanches présentes dans l'urne juste avant le $(k+1)$-ième tirage. En particulier, on a $ X_{0}=1$. On admet que pour tout entier $k$, $X_{k}$ est une variable aléatoire de $(\Omega ,\mathcal{\ T},\mathbb{\ P})$.
- Déterminer la loi de $X_{1}$. Donner son espérance et sa variance
📚.
- Justifier soigneusement que la loi de $X_{2}$ est donnée par :
\begin{equation*}
\mathbb{P}\left( \left[ X_{2}=1\right] \right) =\frac{1}{6},\quad \mathbb{P}%
\left( \left[ X_{2}=2\right] \right) =\frac{2}{3},\quad \mathbb{P}\left(
\left[ X_{2}=3\right] \right) =\frac{1}{6}
\end{equation*}
📚
- Préciser l'ensemble $X_{k}(\Omega )$ des valeurs que peut prendre $ X_{k}$.
- Soient $i\in \mathbb{N}^{\ast }$ et $j\in X_{k}\left( \Omega \right) $
. Déterminer $\mathbb{P}_{\left[ X_{k}=j\right] }\left( \left[
X_{k+1}=i\right] \right) $ 📚.
(On distinguera différents cas selon les valeurs relatives de $i$ et $j$.) - Déduire de ce qui précède que 📚: \begin{equation*} \forall k\in \mathbb{\ N},\forall i\in \mathbb{\ N}^{\ast },\quad \mathbb{P}% \left( \left[ X_{k+1}=i\right] \right) =\frac{i}{k+2}\mathbb{\ P}\left( % \left[ X_{k}=i\right] \right) +\frac{3+k-i}{k+2}\mathbb{\ P}\left( \left[ X_{k}=i-1\right] \right) \mathtt{\quad }\left( \ast \right) \end{equation*}
- À l'aide de la formule (*) déterminer la loi de $X_{3}$.
-
- Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$ : $\mathbb{P}\left( \left[
X_{k}=1\right] \right) =\dfrac{1}{(k+1)!}$
📚.
- Déterminer pour tout $k\in \mathbb{N}$, la valeur de $\mathbb{P}\left( % \left[ X_{k}=k+1\right] \right) $.
- Pour tout $k\in \mathbb{N}$, on pose : $a_{k}=(k+1)!\times \mathbb{P}%
\left( \left[ X_{k}=2\right] \right) $.
Exprimer $a_{k+1}$ en fonction de $a_{k}$ et de $k$.
Montrer que la suite $\left( b_{k}\right) _{k\geqslant 0}$ définie par :$ \forall k\in \mathbb{\ N},b_{k}=a_{k}+k+2$ est géométrique.
En déduire alors que : \begin{equation*} \forall k\in \mathbb{\ N},\mathbb{\ P}\left( \left[ X_{k}=2\right] \right) = \frac{2^{k+1}-k-2}{(k+1)!} \end{equation*}
- Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$ : $\mathbb{P}\left( \left[
X_{k}=1\right] \right) =\dfrac{1}{(k+1)!}$
- Déterminer la loi de $X_{1}$. Donner son espérance et sa variance
-
👍 Soit $A_1,...,A_n$ des événements ($n\geq 2$) d'un même espace probabilisé.
- Montrer que
💁♂️📚📚📚: $$ \sum_{i=1}^n \Pb(A_i) -\sum_{1\leq i < j\leq n} \Pb(A_i\cap A_j)\leq \Pb\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \Pb(A_i) $$ et 😨 en déduire que la probabilité d'avoir exactement un de ces événements qui se réalise est supérieure à $\displaystyle\sum_{i=1}^n \Pb(A_i)-2\displaystyle\sum_{1\leq i< j\leq n}\Pb(A_i\cap A_j)$📚.
- Démontrer l'inégalité de Kounias
💁♂️: $$ \Pb\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \Pb(A_i)-\displaystyle\max_{k\in\zint{1,n}}\left(\sum_{i\neq k}\Pb(A_k\cap A_i)\right)$$
- En déduire que: $$ \sum_{i=1}^n \Pb(A_i)-\sum_{1\leq i< j\leq n}\Pb(A_i\cap A_j)\leq \Pb\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \Pb(A_i)-\dfrac 2n\sum_{1\leq i< j\leq n}\Pb(A_i\cap A_j) $$
- Montrer que
-
- 👍
Une entreprise doit recruter au plus un employé à choisir parmi $n$
candidats, où $n\geqslant 5$. On suppose que ces candidats peuvent être class
és , sans ex aequo, selon leur valeur de $1$ (le meilleur) à $n$ (le pire).
Ils sont entendus dans un ordre aléatoire, l'un après l'autre, par le directeur, lequel doit décider immédiatement, à la fin de chaque entretien, d'engager ou de refuser le candidat (qu'il ne peut donc comparer qu'aux candidats préalablement entendus et refusés).
Les différents ordres de passage possibles sont équiprobables.
Le problème a pour objet l'étude de la procédure de choix suivante : on commence par se donner un seuil, c'est-à-dire un nombre entier $s$ tel que $ 1\leqslant s\leqslant n-1$.
On entend d'abord les $s$ premiers candidats qu'on refuse systématiquement, et qui constituent un échantillon servant à fixer le niveau de qualité du recrutement : on engage le premier des candidats à se présenter ensuite qui se révèle meilleur que les $s$ candidats de l'échantillon. (Au cas où il ne s'en présente pas, personne n'est engagé.)
On note $\theta _{n}(s)$ la probabilité pour que soit engagé de cette façon le meilleur des $n$ candidats.
On note aussi:
- $E_{k}$, où $1\leqslant k\leqslant n$, l'événement : "le meilleur des $n$ candidats est le $k$-ième à se présenter";
- $F_{k,s}$, où $s\leqslant k\leqslant n$, l'événement "le meilleur des $k$ premiers candidats est parmi les $s$ premiers à se présenter".
-
Calculer $P(E_{k})$ et montrer que $P(F_{k,s})=\dfrac{s}k$ où $s\leqslant k\leqslant n$
💁♂️📚.
- Calculer $P(E_{k}\cap F_{k-1,s})$ pour $s+1\leq k \leq n$ et en déduire que
\begin{equation*}
\theta _{n}(s)=\dfrac{s}{n}\left( \sum_{k=s}^{n-1}\dfrac{1}{k}\right)
\end{equation*}
💁♂️📚
- Écrire une fonction Scilab
r=theta(n,s)qui renvoie $\theta_n(s)$ lorsqu'on lui donne $n$ et $s$. La représentation de cette fonction de $s$, $s\in\zint{1,29}$, pour $n=30$ donne le graphique suivant:
Comment l'obtient-on en utilisant la fonction précédente?
- On cherche à estimer pour $n$ fixé assez grand ($n\geq 10$), quelle est la valeur de $s$ qui rend cette probabilité maximale. Soit $s\in\zint{1,n-2}$.
- Etablir que $n\theta_n(s+1)-n\theta_n(s)=\left(\displaystyle\sum_{k=s+1}^{n-1}\dfrac 1k\right)-1$.
- Démontrer que $\dint_{s+1}^{n}\frac 1t dt\leq \displaystyle\sum_{k=s+1}^{n-1}\dfrac 1k\leq\dint_{s}^{n-1}\dfrac 1t dt$.
- En déduire le signe de $\theta_n(s+1)-\theta_n(s)$ lorsque $s\leq \entiere{\frac {n}{\e}}-1$ et $s\geq \entiere{\frac {n-1}{\e}}+1$, puis que $\theta_n(s)$ est maximal pour $s=\entiere{\frac {n}{\e}}$ ou $s=\entiere{\frac {n-1}{\e}}+1$ (on justifiera que ces deux valeurs sont égales ou consécutives).
-
- Calculer la probabilité pour que l'on ne recrute aucun candidat
💁♂️.
- Pour tout nombre entier $j$ tel que $s+1\leqslant j\leqslant n-1$, calculer $P(F_{j-1,s}\cap \overline{F_{j,s}})$
💁♂️📚.
- En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale au
nombre des candidats qui auront été entendus à la fin de la procédure, et
montrer que $X$ a pour espérance 📚: \begin{equation*} E(X)=s\left(1+\sum_{k=s}^{n-1}\dfrac{1}{k}\right) \end{equation*}
- Calculer la probabilité pour que l'on ne recrute aucun candidat
-
😱 - d'après -
Soit $F$ une fonction définie sur $\R$, croissante, continue à droite en tout point et de limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$.
Pour tout $p\in]0,1[$, on note $I_p=\{x\in \R;\; F(x)< p\}$.
- Justifier l'implication: $$\forall(x,y)\in\R^2, F(x)< F(y)\Rightarrow x< y$$
- Montrer que $I_p$ est non vide et en déduire l'existence de $\text{sup}(I_p)$ que l'on notera $G(p)$. On définit ainsi une fonction sur $]0,1[$ à valeurs réelles.
- Établir que si $y$ est tel que, $p\leq F(y)$, alors $G(p)\leq y$.
- Justifier à l'aide de la continuité à droite de $F$ en $y$ que pour tout $y$ tel que $G(p)\leq y$, on a $p\leq F(y)$.
- Que peut-on en conclure pour les ensembles $\{y\in\R/p\leq F(y)\}$ et $\{y\in\R/G(p)\leq y\}$?
- Soit $U$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé, à valeurs dans $]0,1[$. On pose $X=G(U)$.
Montrer que $X$ est une variable aléatoire et que sa fonction de répartition est $ F_U\circ F$. Que remarque-t-on si $U$ suit la loi uniforme sur $]0,1[$? Qu'a-t-on ainsi démontré?
-
👍 -
-
On considère une urne contenant $n$ boules numérotées portant des
numéros deux à deux distincts.
Un premier joueur effectue dans l'urne des tirages sans remise jusqu'à ce qu'il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note $X_1$ le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S'il reste des boules dans l'urne, un deuxième joueur effectue la même expérience (c'est-à-dire qu'il effectue des tirages sans remise jusqu'à obtenir la boule de plus grand numéro parmi celles présentent au moment où il entre en jeu).
On note $X_2$ le nombre de tirages effectués par ce second joueur (nombre qui vaut éventuellement 0).
- Rappeler la formule des probabilités composées.
📚
- Réaliser avec Scilab un script qui affiche deux valeurs aléatoires qui suivent la même loi que $X_1$ puis $X_2$.
- Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_1$
💁♂️📚.
- Déterminer pour $k\in\zint{1,n}$, la loi de $X_2$ conditionnée par $[X_1=k]$ 📚.
En déduire que pour $1\le k\le n-1$, $\displaystyle\Pb([X_2=k])=\frac{1}{ n}\displaystyle\sum_{i=k}^{n-1}\frac{1}i $💁♂️📚, puis donner la loi de $X_2$💁♂️. - Calculer l'espérance $\E(X_2)$
💁♂️📚.
- Rappeler la formule des probabilités composées.
-
👍 - Urne de Polya et identité de Norlund - On considère une urne contenant $a$ boules blanches et $b$ boules noires ($a+b >0$).
On effectue $n$ tirages avec remise dans cette urne en ajoutant après chaque tirage une boule de la couleur de la boule que l'on vient de tirer.
Pour tout $x$ réel et $k\in\N^*$, on note $x^{[k]}$ le produit $\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1}(x+i)$ et $x^{[0]}$ vaut $1$.
Soit $X_n$ la v.a.r.d égale au nombre de boules blanches tirées.
-
- Compléter le programme suivant pour qu'il simule cette expérience aléatoire en retournant la liste des couleurs des boules tirées:
n=input('n=') a=input('a=') b=input('b=') couleurs=zeros(1,n) // On affiche 1 pour une boule blanche, 0 pour une noire for k=1:n num=grand(1,1,"uin",1,a+b) if num<=... couleurs(1,k)=1 a=... else couleurs(1,k)=0 b=... end end disp(couleurs) - Comment modifier la dernière ligne de ce script pour qu'il affiche la valeur de $X_n$ réalisée?
- Estimer la valeur de $\E(X_{10})$ pour $a=3$ et $b=5$ en utilisant Scilab.
- Compléter le programme suivant pour qu'il simule cette expérience aléatoire en retournant la liste des couleurs des boules tirées:
- Montrer que pour tout $k\in\zint{0,n}$,
💁♂️📚$$\Pb([X_n=k])=\dp\binom{n}{k}\dfrac{a^{[k]}b^{[n-k]}}{(a+b)^{[n]}}$$
- En déduire la formule: $(a+b)^{[n]}=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dp\binom{n}{k}a^{[k]}b^{[n-k]}$
💁♂️📚.
- Justifier que cette égalité se généralise de la manière suivante: $\forall (x,y)\in\R^2$
💁♂️, $$(x+y)^{[n]}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{[k]}y^{[n-k]}$$
- Démontrer que $\E(X_n)=n\dfrac{a}{a+b}$. Que remarque-t-on?
-
-
👍 Un groupe d'individus est formé de $a$ individus bilingues et de $b$ français ($a$ et $b$ non nuls). Soit $m\in\N^*$.
- On suppose que $m\leq a+b$. On prélève successivement, sans remise et un par un, $m$ individus de ce groupe ce qui constitue un échantillon. On note $X_m$ le nombre de français de l'échantillon ainsi constitué.
- Déterminer la loi de $X_m$
💁♂️
- Calculer aussi l'espérance de $X_m$ en utilisant des variables de Bernoulli
📚📚.
- Si $m>a$, on note $Z_m$ la variable aléatoire égale au nombre de prélèvements réalisés lorsqu'on obtient pour la première fois un français. Déterminer la loi de $Z_m$
💁♂️.
- On remplace $a$ par $a_n$, $b$ par $b_n$ et $X_m$ par $X_{m,n}$. On suppose de plus que $b_n\to +\infty$, $\dfrac{b_n}{a_n+b_n}\to p$ quand $n\to +\infty$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\Pb(X_{n,m}=k)$ pour tout $k\in\zint{0,m}$. Conclusion?
- Déterminer la loi de $X_m$
-
On effectue maintenant les prélèvements avec remise jusqu'à avoir obtenu un français à $m$ reprises. On note $T_m$ la variable aléatoire égale au nombre de prélèvements effectués et on note $p=\dfrac b{a+b}$.
- Reconnaître la loi de $T_1$ 📚. Si $p=\dfrac 1n$, déterminer pour tout $x>0$, la limite quand $n\to +\infty$ de $\Pb([T_1> nx])$💁♂️.
- En considérant une variable qui suit une loi binomiale, déterminer la loi de $T_m$
💁♂️.
- En déduire que $\displaystyle\sum_{k=m}^{+\infty}\binom{k-1}{m-1}(1-p)^{k-m}=\dfrac 1{p^m}$, puis que $\E(T_m)=\dfrac mp$.
- Existence et calcul de $\E\left(\dfrac{m-1}{T_m-1}\right)$
💁♂️📚.
- Si $p=\dfrac 1n$ et $x>0$, déterminer la limite $f(x)$ de $n\Pb\left(\left[x-\frac 1n< \frac{T_m}n\leq x\right]\right)$ quand $n\to +\infty$
💁♂️. Montrer que $f$, prolongée par $0$ sur $\R^-$, est une densité de probabilité📚.
- Reconnaître la loi de $T_1$
- On suppose que $m\leq a+b$. On prélève successivement, sans remise et un par un, $m$ individus de ce groupe ce qui constitue un échantillon. On note $X_m$ le nombre de français de l'échantillon ainsi constitué.
-
👍 On considère une urne qui comporte initialement une boule blanche et une boule noire.
- On effectue une suite éventuellement infinie de tirages avec remise dans cette urne en arrêtant l'expérience lorsque l'on tire une boule noire.
- On suppose que lorsqu'un tirage donne une boule blanche, on double le nombre de boules blanches contenues dans l'urne avant le tirage suivant.
- Par exemple, si les trois premiers tirages donnent des boules blanches, alors avant le quatrième tirage, l'urne comporte 8 boules blanches et toujours une boule noire.
- On note $X$ le nombre de tirage réalisé si l'on obtient la boule noire et on pose $X=0$ si le nombre de tirage est infini.
- Montrer que si $n\in\N^*$, et si l'on réalise un $n$-ième tirage, il se fait dans une urne contenant $2^{n-1}$ boules blanches.
- En déduire que si $n\in\N^*,n\geq 2$, $\Pb([X=n])=\dfrac 1{2^{n-1}+1}\displaystyle\prod_{i=0}^{n-2}\dfrac{2^i}{2^i+1}$
📚. En déduire que $\dlim_{n\to +\infty}\Pb([X=n])=0$.
- Montrer que $[X=0]=\overline{\displaystyle\bigcup_{n\in\N^*}[ 1\leq X\leq n]}=\displaystyle\bigcap_{n\in\N^*}[ X\notin\zint{1,n}]$
📚.
- Établir que pour tout $n\in\N^*$, $$\Pb\left([ X\notin\zint{1,n}]\right)=\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}\dfrac{2^i}{2^i+1}$$
- Montrer que la série $\dsum_{n=0}^{+\infty}-\ln\left(\dfrac{2^n}{2^n+1}\right)$ est convergente.
- En déduire que la probabilité que l'expérience comporte une infinité de tirages est non nulle
📚.