Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
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  • 👍 à faire absolument, pour tous.
  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
  • 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 9 - Ev, applications linéaires et matrices

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Nb d'énoncés:

  1. 👍 $E=C^0([0,1])$. Soit l'application $\Phi$, définie sur $E$, qui à tout $f\in E$ associe $g$ telle que : $\forall x\in[0,1], g(x)=f(x)-2x\dint_0^1f(t)dt$. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer $\ker(\Phi)$ et $\Im(\Phi)$.
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  2. 👍 Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^n=0$ ($n\in\N^*$). Si $n=2$, montrer que $g=\Id+f$ est un automorphisme et que $g^{-1}=\Id-f$
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    . Généraliser
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    !
  3. 👍 Si $P\in\R[X]$, donner une CNS simple pour que $(P(X),P'(X),...,P^{(n)}(X))$ soit une base de $\R_n[X]$
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    . Lorsque c'est le cas, déterminer les coordonnées de $P(X+a)$ dans cette base en fonction de $a$.
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  4. 👍 Déterminer une base de $H$ le sous espace vectoriel de $\K^n$ formé des $(x_1,...,x_n)$ tels que $x_1+...+x_n=0$
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    . Même question pour le sous espace vectoriel de $\K_n[X]$ formé des $P$ tels que $P(1)=P(0)=0$.
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    😨 Pour chacun de ces deux sous espaces vectoriels, déterminer un supplémentaire
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    .
  5. 👍 Soit $f$ un endomorphisme de $E$ un $\R$-ev de dimension $n>0$ tel que $\dim(\ker(f^2+k^2\Id_E))\geq 1$, $k\in\R^*$ et $p\geq 1$. En supposant que $(e_1,f(e_1),...,e_{p-1},f(e_{p-1}),e_{p})$ est une famille libre de $\ker(f^2+k^2\Id_E)$, montrer qu'il en est de même de $(e_1,f(e_1),...,e_{p-1},f(e_{p-1}),e_{p},f(e_{p}))$
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    📚
    . 😨 Que peut-on en déduire pour $\dim(\ker(f^2+k^2\Id_E))$
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    ? Justifier qu'il existe un plan stable par $f$
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    .
  6. 👍 Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ ($\dim(E)=n$) tels que $u\circ v=0$. Montrer que $\text{rg}(u+v)\leq \text{rg}(u)+\text{rg}(v)\leq n$
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    . On suppose de plus que $\text{rg}(u+v)=n$, montrer que $\ker(v)$ et $\Im(v)$ sont supplémentaires
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    .
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  7. 👍 Soit $B=(e_1,...,e_n)$ une base d'un $\K$-ev $E$. On définit $f$ un endomorphisme de $E$ par, $\forall k\in\zint{1,n}$, $f(e_k)=e_k+\dsum_{i=1}^n e_i$. Déterminer $A$ la matrice de $f$ dans $B$. Trouver une relation entre $A^2$, $A$ et $\text{I}_n$
    💁‍♂️
    . En déduire une expression de $A^r$ en fonction de $A$, $\text{I}_n$, $n$ et $r$
    💁‍♂️
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    .
  8. 👍 Déterminer la matrice dans la base canonique de $\R_3[X]$ de l'endomorphisme (à justifier) $u:P(X)\mapsto X(P(X)-P(X-1))+P(0)$. Justifier $u$ est un automorphisme et déterminer $u^{-1}$
    💁‍♂️
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    .
  9. 👍 Résoudre les systèmes linéaires suivants dans $\R^3$, $\R^4$ et $\R^5$ respectivement: $$\left\{ \begin{array}{l} 2x_{1}-x_{2}-x_{3}=4 \\ 3x_{1}-4x_{2}-2x_{3}=11 \\ 3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=11 \end{array} \right.\,; \,\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=11 \\ 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+x_{4}=12 \\ 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4}=13 \\ 4x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=14 \end{array} \right. \, ;\,\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}=1 \\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=1 \\ 4x_{1}-10x_{2}+5x_{3}-5x_{4}+7x_{5}=1 \\ 2x_{1}-14x_{2}+7x_{3}-7x_{4}+11x_{5}=-1 \end{array} \right.$$
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  10. 👍 Montrer que $A\in\M_{n,p}(\K)$ est de rang $1$ ssi il existe $U\in\M_{n,1}(\K)$ et $V\in\M_{1,p}(\K)$ des matrices non nulles telles que $A=UV$. 😨 Plus généralement, montrer que $\rg(A)=r$ ssi il existe $(U_1,...,U_r)$ et $(V_1,...,V_r)$ deux familles libres de colonnes telles que $A=\dsum_{k=1}^r U_k\,^tV_k$
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    .
  11. 👍 Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients complexes telles que pour tout $i\in\zint{1,n}$, $|a_{i,i}|>\dsum_{j=1,j\neq i}^n|a_{i,j}|$. Montrer que $A$ est inversible
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    .
  12. 👍 Déterminer les matrices carrées d'ordre $n$ qui commutent avec $E_{k,\ell}$
    💁‍♂️
    . En déduire quelles sont les matrices qui commutent avec toutes les matrices
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    .
  13. 👍 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme de $\M_2(\K)$ qui à $M$ associe $AM-MA$
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    . Résoudre l'équation $AM-MA=2M$
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    .
  14. 👍 $n\geq 3$. Montrer que les applications $\phi$ et $\psi$, de $\K_n[X]$ dans lui-même, qui à $P(X)$ associe respectivement le quotient et le reste de $(X-1)^2P(X)$ par $X^{n+1}+X+1$, sont des endomorphismes de $\K_n[X]$
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    . Déterminer les matrices de $\phi$ et $\psi$ dans la base canonique, le noyau et l'image de ces endomorphismes lorsque $n=4$. 😨 Noyaux, images dans le cas général?
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    .
  15. 😨 Soit $(b_1,...,b_n)\in\K^n$ et $A=(a_{i,j})\in\M_n(\K)$ telle que $a_{i,j}=b_{\min(i,j)}$. Donner une CNS pour que $A$ soit inversible
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    .