Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1

Choisir filtres:

Voir les énoncés

Filtres:

Nb d'énoncés:

1. 👍 Démontrer que $(P,Q)\mapsto\dint_{0}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}dt$ ou $(f,g)\mapsto\dint_{-1}^{1}\frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^{2}}}dt$ sont des produits scalaires sur $\R[X]$ et $C^{0}([-1,1])$ respectivement.

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

2. 👍 $E$ est l'ensemble des fonctions continues sur $\R^{+*}$ telles que $\dint_{0}^{+\infty}f^{2}(t)dt$ converge. Montrer que $E$ est un espace vectoriel sur $\R$ et que $(f,g)\mapsto \dint_{0}^{+\infty}f(t)g(t)dt$ définit un produit scalaire sur $E$. En déduire que, pour tout $x\in]0,1[$, on a $\Gamma(x)\Gamma(1-x)\geq \pi$

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

   .

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

3. 👍 Démontrer que $(A,B)\mapsto \tr(\,^tAB)$ définit un produit scalaire sur les matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes. Si $n=p$, montrer que $A$ est symétrique ssi pour toute matrice antisymétrique $B$, $\|A+B\|=\|A-B\|$

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

   .

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

4. 👍 Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ est antisymétrique ssi pour toute matrice colonne $X$, $\,^t XAX=0$. Que peut-on en déduire si $A$ et $B$ sont deux matrices symétriques telles que pour toute matrice colonne $X$, $\,^tXAX=\,^tXBX$?

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

5. 👍 Soit $(e_1,...,e_n)$ une famille de vecteurs de $E$ un $\R$-ev muni d'un produit scalaire. Montrer que $(e_1,...,e_n)$ est libre ssi la matrice $A=(\ps{e_i,e_j})_{1\leq i,j\leq n}$ est inversible et que $\Sp(A)\subset \R^+$.

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

6. 👍 $n\in\N^*$. On définit sur $E=\R_{n-1}[X]$ le produit scalaire $\ps{P,Q}=\dint_0^{1}P(t)Q(t)dt$. Montrer que c'est bien un produit scalaire et en déduire 😨 que la matrice $H_n=\left(\frac 1{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n}$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes strictement positives

   💁‍♂️

   Cet élément n'est pas disponible. Se connecter

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

   .

7. 👍 Soit $E$ un $\R$-ev de dimension fini muni d'un produit scalaire et $u\in\L(E)$. Montrer que $u$ conserve la norme ssi il conserve le p.s.

   💁‍♂️

   Cet élément n'est pas disponible. Se connecter

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

   . Dans ce cas que peut-on dire des valeurs propres de $u$? Montrer que $u$ conserve l'orthogonalité ssi $u$ conserve l'égalité des normes

   💁‍♂️

   Cet élément n'est pas disponible. Se connecter

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

   .

8. 😨 Soit $E$ un $\R$-ev muni d'une norme euclidienne notée classiquement. Montrer par récurrence sur $n\geq 2$, que si $x_1,...,x_n$ sont des éléments de $E$, on a: $$\|x_1+...+x_n\|=\|x_1\|+...+\|x_n\|\iff \\ \exists i\in\zint{1,n}/\forall j\in\zint{1,n},\exists\lambda_j\geq 0 \text{ et }x_j=\lambda_jx_i\, .$$

   💁‍♂️

   Cet élément n'est pas disponible. Se connecter

   📚

   Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

9. 👍 Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ symétrique à coefficients réels non nulle. Montrer que $\tr(A^2)>0$ et que $\dfrac{(\tr(A))^2}{\tr(A^2)}\leq \rg(A)$. Montrer que l'on a l'égalité ssi $\dfrac{\rg(A)}{\tr(A)}A$ est la matrice d'un projecteur.

   👨‍🏫

   Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

10. 😨 Soit $A$ une matrice antisymétrique réelle. Montrer que $A^2$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont négatives

    💁‍♂️

    Cet élément n'est pas disponible. Se connecter

    . En déduire que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures

    📚

    Cet élément n'est pas disponible hors connexion. Se connecter

    . Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\C$

    💁‍♂️

    Cet élément n'est pas disponible. Se connecter

    👨‍🏫

    Cet élément n'est pas encore disponible. Se connecter

    .