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Soit $(X_n)$ une suite de var telles que $X_n\hookrightarrow\Expo(\lambda_n)$ et $\lambda_n\to 0$ quand $n\to +\infty$. Étudier la convergence en loi des suites de termes généraux $X_n$, $\entiere{X_n}$, $X_n-\entiere{X_n}$.
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Si $X$ est une var (à densité) sur un espace probabilisé, montrer que la suite de var de terme général $Y_n=\dfrac{\entiere{nX}}n$, est une suite de variables discrètes sur ce même espace probabilisé, qui convergent en probabilité vers $X$.
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de var à densité, à valeurs dans $]0,1]$ et à d.d.p. bornée. On pose $Y_n=\left(\disp\prod_{k=1}^n X_k\right)^{\frac 1n}$, montrer que $(Y_n)$ converge en probabilité.
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires à densité i.i.d. admettant un moment d'ordre $2$. On pose $M_n=\max(|X_1|,...,|X_n|)$. Montrer que $\dfrac {M_n}{\sqrt n}\cvp 0$
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On suppose que pour tout $n\geq 1$, $Y_n$ est la loi du minimum de $k$ var indépendantes de loi $\Geo\left(\frac{\lambda}n\right)$. Montrer que $\dfrac{Y_n}n$ converge en loi.
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👍 On pose $Y_n=\min(X_1,...,X_n)$ les $X_i$ étant i.i.d de loi uniforme sur $[0,1]$. Etudier la convergence en probabilité de $(Y_n)_{n\geq 1}$. Déterminer une suite de réel $(a_n)_{n\geq 1}$ telle que $(a_nY_n)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable à densité. Si $n$ est grand, de quelle loi à densité du programme la loi de $Y_n$ est-elle proche?
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On considère une suite $(X_k)_{k\geq 1}$ de var qui suivent la loi uniforme sur $]0,\theta]$ et sont indépendantes. On note $M_n$ le max de $(X_1,...,X_n)$ et $X_{n,k}$ la $k$-ième plus petite valeur prise par ces variables. Montrer que $M_n\cvp \theta$ puis que $\dfrac{nX_{n,k}}{M_n}\cvl Y$ qui suit la loi $\gamma(k)$.
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Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires qui tend vers $0$ en probabilité et telle que la suite de terme général $\E(X^2_n)$ soit bornée. Montrer que $\E(X_n)\to 0$ quand $n\to +\infty$.
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On considère une suite $(X_k)_{k\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes sur le même espace probabilisé telles que, $X_k$ suit la loi ${\cal P}(\lambda_k)$ et $\lambda=\dsum_{k=1}^{+\infty}\lambda_k$ converge. On pose $S_n=\dsum_{k=1}^n X_k$. Montrer que $(S_n)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable aléatoire $U$ telle que $U\suit{\cal P}(\lambda)$. 😨 On pose $S=\dsum_{k=1}^{+\infty} X_k$ si cette série converge et $S=-1$ sinon.
Calculer $\Pb([S=S_n])$ puis en déduire que $S_n\cvp S$ quand $n\to +\infty$. Quelle est la loi de $S$?
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