Semaine 16 - Convergences et estimation dans les espaces probabilisés

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1. 👍 On suppose que pour tout $n\in\N^*$, $X_n$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda_n$, que les $X_n$ sont indépendantes et que $\lambda=\dsum_{n=1}^{+\infty}\lambda_n$ converge. Montrer que $\dsum_{k=1}^nX_k\cvl U$ où $U$ suit la loi de poisson de paramètre $\lambda$.

2. 👍 Soit $t>0$, $n\in\N^*$. On considère $(X_k)_{k\geq 1}$, une suite de variables indépendantes de loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose $S_n=\dsum_{k=1}^n X_k$ ($S_0=0$). Montrer que la suite $\dfrac {S_{\entiere{nt}}}{\sqrt{n}}$ converge en loi vers une variable $X_t$ de loi normale $(0,t)$. Ecrire un script qui calcule et affiche la courbe de $\dfrac {S_{\entiere{nt}}}{\sqrt{n}}$ en fonction $t\in[0,10]$ pour $n=10000$ à partir d'une simulation de $X_1,...,X_{n}$.

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3. 😨 En utilisant le théorème central limite, montrer que $\dlim_{n\rightarrow +\infty }e^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\frac 12 $, et $\dlim_{n\to +\infty} \disp\int_0^{n}\frac{t^{n}}{n!}\e^{-t}dt=\dfrac 12$. Déterminer aussi un équivalent de $\dint_{\frac{n+\sqrt n}2}^{+\infty}t^{n-1}\e^{-2t}dt$ quand $n\to +\infty$.

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4. 👍 Soit à estimer la probabilité $\Pb([X=0])$ pour $X$ qui suit la loi de Poisson de paramètre $\theta$ inconnu. Montrer que $T_n=e^{-\overline X_n}$ est un estimateur convergent mais biaisé de $\e^{-\theta}$. Calculer son risque quadratique. Proposer un autre estimateur basé sur la méthode de Monte-Carlo.

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5. 👍 Soit à estimer le paramètre d'une loi $\Expo(\theta)$. Montrer que $T_n=\dfrac{n}{\dsum_{k=1}^n X_k}$ est un estimateur biaisé mais convergent de $\theta$ (On remarquera que $T_n=\dfrac{n\theta}{\dsum_{k=1}^n \theta X_k}$ pour le calcul de l'espérance de $T_n$). En déduire un estimateur sans biais et convergent de $\theta$.

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6. 👍 On suppose que la loi $\mu_{\theta}$ possède pour ddp la fonction $f_{\theta}$ définie par $f_{\theta}(x)=\dfrac{\theta}{x^{\theta+1}}$ si $x>1$ et $0$ sinon ($\theta>2$). Montrer que cette loi possède une variance puis calculer son espérance. En déduire un estimateur convergent de $\theta$.

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7. 👍 On suppose que la loi $\mu_{\theta}$ est la loi uniforme sur $[0,\theta]$. Proposer deux estimateurs sans biais et convergent de $\theta$, l'un fonction de $\overline X_n$ et l'autre de $M_n=\max(X_1,...,X_n)$. Lequel est le meilleur selon vous? Justifier votre réponse.

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8. 👍 On considère une loi $\mu_{\theta}$ admettant un moment d'ordre $4$ dont on veut estimer la variance. Montrer que $S_n=\dfrac 1n\left(\dsum_{k=1}^n X_k^2\right)-\overline X_n^2=\dfrac 1n\dsum_{k=1}^n\left(X_k-\overline X_n\right)^2$, la variance empirique d'un échantillon $(X_1,...,X_n)$, est un estimateur asymptotiquement sans biais et 😨 convergent de cette variance. En déduire un estimateur non biaisé de la variance et convergent, puis un estimateur convergent de l'écart-type de cette loi.

9. 👍 Déterminer un estimateur par intervalle de confiance asymptotique au niveau de risque $\alpha$, basé sur la méthode de Monte-Carlo, de $g(\theta)=\e^{-\theta}=\Pb([X>1])$, si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\theta$. Proposer un autre estimateur utilisant le TCL. Comparer ces estimateurs à l'aide d'un script Scilab: demi-amplitude moyenne, confiance constatée.

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10. 👍 On suppose que la loi $\mu_{\theta}$ est la loi uniforme sur $[0,\theta]$. $M_n=\max(X_1,...,X_n)$ où $(X_1,...,X_n)$ est un échantillon de cette loi. Montrer que $\left[M_n,\dfrac{M_n}{\alpha^{1/n}}\right]$ est un estimateur par intervalle de confiance

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    au niveau de risque $\alpha$ de $\theta$. Proposer un autre estimateur par intervalle de confiance construit à partir de $\overline{X_n}$.

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11. 😨 $X$ est une variable de densité $f_{\theta}$ où $\theta\in \Theta$ . On souhaite estimer $f_{\theta}(a)$, où $a\in\R$ est un point de continuité de $f_{\theta}$, à partir d'un échantillon $(X_1,...,X_n)$ de la loi de $X$. On définit, $C_n(\omega)=\text{card}\left\{i\in\zint{1,n}\text{ tel que }X_i(\omega)\in\left]a-\frac 1{\sqrt n},a+\frac 1{\sqrt n}\right]\right\}$ pour tout $\omega\in\Omega$ et $D_n=\dfrac{1}{2\sqrt n}C_n$. Montrer que $D_n$ est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent de $f_{\theta}(a)$. Ecrire un Script Scilab qui calcule $D_n(\omega)$ pour $n=10000$, $a$ et la réalisation de l'échantillon étant donnés par l'utilisateur.

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