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Le modèle de Markowitz. Soit $(X_1,...,X_n)$ un vecteur de variables aléatoires admettant des variances et $V=(\text{cov}(X_i,X_j))_{1\leq i,j\leq n}$, $E$ la matrice colonne des espérances des $X_i$ et $U\in\M_{n,1}(\R)$ dont toutes les compsoantes valent $1$.
On suppose que $V$ est inversible. On note pour tout $y\in\R^n$, $Y$ la matrice colonne de $y$ dans la base canonique.
On pose pour tout $y\in\R^n$, $f(y)=\,^tYVY$. On s'intéresse aux extrema de $f$ sous les contraintes non colinéaires $\,^tUY=1$ (1) et $\,^tEY=m$ (2) où $m=\frac 1n\,^tEU$.
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- Montrer que $V$ est diagonalisable et que pour tout $y\in\R^n$ de composantes $y_1,...,y_n$, $f(y)=\V\left(\dsum_{k=1}^ny_kX_k\right)$.
- En déduire que les valeurs propres de $V$ sont strictement positives et qu'il en est de même pour $V^{-1}$
- Montrer que $(Y,Z)\mapsto \,^tYV^{-1}Z$ définit un produit scalaire sur $\R^n$.
On notera $\ps{\ps{Y,Z}}=\,^tYV^{-1}Z$ et $|\|Z\||$ la norme de $Z$ associée à ce produit scalaire.
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- Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $\R^n$ et que pour tout $y\in\R^n$, $\nabla(f)(y)=2VY$, $\nabla^2(f)(y)=2V$.
- En déduire que si $y$ est un extremum local de $f$ sous les contraintes linéaires (1) et (2), alors il existe $\lambda$ et $\mu$ des réels tels que $Y$ soit solution du système:
$$\left\{\begin{matrix}\,^tUY=1\quad , \quad\,^tEY=m
\\ 2VY=\lambda U+\mu E\end{matrix}\right.\iff \left\{\begin{matrix}\,\lambda|\|U\||^2+\mu\ps{\ps{U,E}}=2 \\
\lambda \ps{\ps{U,E}}+\mu|\|E\||^2=2m
\\ Y=\frac 12\lambda V^{-1}U+\frac 12\mu V^{-1}E\end{matrix}\right.$$
- En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et le fait que les contraintes ne sont pas proportionnelles, montrer l'unicité du couple $(\lambda,\mu)$ puis du point critique sous la contrainte.
- On pose $\delta=|\|U\||^2|\|E\||^2-(\ps{\ps{U,E}})^2$. Montrer que:
$$\lambda=2\dfrac{|\|E\||^2-m\ps{\ps{U,E}}}{\delta}\quad,\quad \mu=2\dfrac{-\ps{\ps{U,E}}+m\|U\||^2}{\delta}$$
- En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral pour les fonctions directionnelle au point critique obtenu dans la question précédente, montrer que $f$ présente en ce point un minimum absolu.
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