Frais du 15 Aout 2021

1. 👍 2021 -

   Question préliminaire : on considère une suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ croissante et de limite $\ell$ et on pose, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{*}$ : $$ b_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{k} $$
   1. 1. Établir, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'inégalité $b_{n} \leq a_{n}$, puis étudier la monotonie de la suite $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$
      2. Montrer que la suite $\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ converge vers un réel $\ell^{\prime}$ qui vérifie $\ell^{\prime} \leq \ell$.
      3. Établir, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'égalité suivante : $$ b_{2 n} \geq \frac{b_{n}+a_{n}}{2} $$
      4. En déduire que $\dlim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=\dlim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}$.

      On se propose maintenant d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, définie par la donnée de $u_{0}=1$ et par la relation, valable pour tout entier naturel $n$ : $$ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{2}+u_{n}} $$ Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_{n}=\dsum_{k=0}^{n-1} u_{k}$.

   2. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n, u_{n}$ est bien défini et supérieur ou égal à 1 .
      2. Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$, puis établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ diverge et donner sa limite.
      3. Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de déterminer et d'afficher la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $S_{n}>1000$:

         n=1
         u=1
         S=1 // S1=u0=1
         while S<=1000
         u=----
         S=----
         n=n+1
         end
         disp(----)	
         

   3. Recherche d'un équivalent de $u_{n}$.
      1. Montrer que $\dlim _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)=\frac{1}{2}$.
      2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left[1 ;+\infty\left[\right.\right.$ par $f(x)=\sqrt{x^{2}+x}-x$, puis en déduire que la suite $\left(u_{n+1}-u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante.
      3. Utiliser la première question pour établir que $: u_{n} \sim \frac{n}{2}$.
   4. 1. Exprimer $S_{n}$ en fonction de $u_{n}$ puis en déduire un équivalent de $S_{n}$ pour $n$ au voisinage de $+\infty .$
      2. Compléter le script Scilab suivant afin qu'il fasse le même travail que celui de la question $2 \mathrm{c}$ ) sans calculer $S_{n}$ :

         n=0
         u=1 // u0=1
         while u<=----
         u=----
         n=n+1
         end
         disp(----)