Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
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  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
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$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités

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Nb d'énoncés:

  1. 👍 Calculer les sommes suivantes: ($i$, $j$, $k$ et $n$ représentent des entiers naturels).
    $\dsum_{0\leq i,j\leq n}\dfrac 1{2^{i+j}}$
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    ; $\dsum_{0\leq i,j\leq n}2^{i-j}$
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    ; $\dsum_{1\leq i\leq j\leq n}\dfrac ij\,$
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    ; $\dsum_{0\leq i+j+k\leq n}\dfrac{n!}{i!j!k!(n-i-j-k)!}$.
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  2. 👍 Calculer les produits suivants :
    $\qquad\displaystyle\prod_{k=2}^n\left(1-\dfrac 1{k^2}\right)\,$
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    ;$\,\displaystyle\prod_{1\leq i< j\leq n}a_ia_j\text{ en fonction de }d=\displaystyle\prod_{k=1}^n a_k\,$
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    ; 😨 $\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)$
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    .
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  3. 👍 Si $n$ et $k$ sont deux entiers naturels et $k\in\zint{1,n}$, montrer que
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    : $$\frac 1k\displaystyle{\binom{n}{k}}^{-1}=\frac 1k\displaystyle{\binom{n+1}{k}}^{-1}+\dfrac 1{k+1}{\binom{n+1}{k+1}}^{-1}$$ 😨 En déduire la convergence pour tout $k\geq 2$ de $\displaystyle\sum_{n=k}^{+\infty}\displaystyle\binom{n}{k}^{-1}$ et la valeur de la somme de cette série
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    .
  4. 😨 Soit $n\in\N$. Déterminer pour quelle(s) valeurs de $k\in\zint{0,n}$, $\displaystyle\binom nk$ est maximal. En déduire que pour tout $n$ entier naturel $\displaystyle\binom{2n}{n}\geq \dfrac {4^n}{2n+1}$. Cas d'égalité? Montrer que pour tout $q\in\R^+$, $q^n=o\left(\displaystyle\binom{2n}n\right)$ si $q<4$ et $\displaystyle\binom{2n}n=o\left(q^n\right)$ si $q>4$
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  5. 😨 Calculer $\dsum_{0\leq i,j\leq n,0\leq i+j\leq n}\dfrac i{i+j+1}$
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  6. 👍 Soit $f$ et $g$ deux applications telles que $f\circ g$ est injective et $g\circ f$ surjective. Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives
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  7. 👍 Soit $(A_i)_{i\in I}$ et $(B_j)_{j\in J}$ deux familles complètes d'événements d'un même espace probabilisé. Montrer que $(A_i\cap B_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est un système complet d'événements
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  8. 👍 Soit $(A_n)_{n\in\N}$ une famille d'événements. On définit: $B=\displaystyle\bigcap_{n\in\N}\left(\bigcup_{k\geq n} A_k\right)$. Montrer que $B$ est réalisé ssi il existe une infinité de $n$ pour lesquels $A_n$ est réalisé
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    . 😨 On suppose que la série $\dsum_{n=0}^{+\infty}\Pb(A_n)$ converge. Montrer que $\Pb(B)=0$
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  9. 👍 German tank. On prélève un échantillon de $p+1$ individus dans une population qui en comporte $n+1$ numérotés de $1$ à $n+1$. On note $X_{n,p}$ la v.a.r. égale au plus grand numéro de l'échantillon. Déterminer la loi de $X_{n,p}$
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    . En déduire que $\dsum_{k=p}^n\displaystyle\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}$
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    . Calculer $\E(X_{n,p})$ puis une fonction affine $f_p$ ne dépendant pas de $n$ telle que pour tout $n\in\N^*$ et $p\in\zint{0,n}$, $\E(f_p(X_{n,p}))=n+1$.
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  10. 😱 Soient $p\in]0,1[$, $q=1-p$ et $k\in\zint{1,n}$. Montrer, en utilisant un raisonnement probabiliste, que: $$\dsum_{i=0}^{n-k}\binom{n}{i}p^iq^{n-i}=q^{k}\dsum_{i=0}^{n-k}\binom{i+k-1}{i}p^i$$
  11. 👍 Capture-recapture. On considère une population d'effectif $N$ individus. On prélève un premier échantillon de taille $n_1$ de cette population, $n_1>\dfrac{N}2$, puis un autre échantillon de taille $n_2>\dfrac{N}2$ après avoir reformé la population initiale. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'individus communs aux deux échantillons. Montrer que pour tout $a\in\zint{1,\min(n_1,n_2)}$, $\Pb([X=a])=\dfrac{\binom{n_1}{a}\binom{N-n_1}{n_2-a}}{\binom{N}{n_2}}$
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    . 😨 $a,n_1,n_2$ étant fixés, déterminer une valeur de $k=N-n_1$ pour laquelle cette probabilité est maximale
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    . Que vaut alors $N$
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    ?
  12. 👍 On note $C_n$ l'ensemble des entiers de $\zint{1,n}$ qui sont des carrés parfaits. Déterminer un équivalent de $\dsum_{k\in C_n}k$ quand $n\to +\infty$. 😨 Même question pour $\dsum_{k\in C_n}\frac 1{\sqrt k}$
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