TD10 - Algèbre bilinéaire

👍 - - Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $ E =\R_n[X]$ et on considère l'application $\varphi$ de $E^2$ dans $\R$ définie par : $$ \varphi(P,Q)=\int_0^{+\infty}P(t)Q(t) \e^{-t} dt$$
1. Montrer que $\varphi$ est bien définie puis montrer que c'est un produit scalaire sur $E$. On pose $\|P\| =\sqrt{\varphi(P,P)}$.
2. Soit $T$ le polynôme défini par $T(X) = 1+ \dfrac{X^n}{ n!}$. Calculer $\|T\|$.
  On pose $I = \dfrac{T}{\|T\|}$
3. On définit l'application $\theta$ qui à tout polynôme $P$ de $E$ associe $2\varphi(P,I)I-P$.
  1. Montrer que $\theta$ est un automorphisme de $E$ et déterminer $\theta^{-1}$.
  2. Montrer que pour tout $P$ de $E$ : $\|\theta(P)\|=\|P\|$.
  3. Quelles sont les valeurs propres possibles de $\theta$ ?
  4. $\theta$ est-il diagonalisable ?
👍 - - On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^{3}$, muni du produit scalaire canonique noté $(.|.)$.
La norme d'un vecteur $u\in\R^3$ est notée $\left\Vert u\right\Vert =% \sqrt{(u|u)}$.

On note $\B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$ et on rappelle que $\B$ est une base orthonormale pour le produit scalaire canonique.

On désigne par $a$, $b$ et $c$ trois réels, on pose $\omega =(a,b,c)$ et on suppose que $c$ est non nul.

On note $\varphi $ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ qui à tout vecteur $u=(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^{3}$ associe le vecteur \begin{equation*} \varphi (u)=(yc-zb,za-xc,xb-ya). \end{equation*}
1. Ecrire la matrice $M$ de $\varphi $ dans la base $\B$.
2. 1. Vérifier que $\omega $ appartient à $\ker (\varphi) $.
  2. Montrer que $(\varphi (e_{1}),\varphi (e_{2}))$ est une famille libre.
  3. Déduire des questions précédentes que $\ker (\varphi) =\Vect (\omega )$.
3. 1. Montrer que pour tout vecteur $u$ de $\mathbb{R}^{3}$, $(\varphi (u)|\omega )=0$.
  2. En déduire que : $E=\Im(\varphi) \oplus \ker(\varphi)$ .
4. 1. Justifier que pour tout vecteur $u$ de $\mathbb{R}^{3}$, il existe un unique couple $(u_{1},u_{2})$ élément de $\ker (\varphi) \times \Im (\varphi) $ tel que $u=u_{1}+u_{2}$.
  2. Montrer que $(u|\omega )=(u_{1}|\omega )$.
  3. En déduire que $u_{1}=\dfrac{(u|\omega )}{\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}}\omega $, puis déterminer $u_{2}$ en fonction de $u$ et $\omega $.
5. 1. Montrer que $M^{3}=-\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}\,M$.
  2. En déduire que :$\forall v\in \Im(\varphi) ,\ (\varphi \circ \varphi )(v)=-\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}\,v$.
  3. Montrer finalement que : $\forall u\in \mathbb{R}^{3},\quad (\varphi \circ \varphi )(u)=-\left\Vert \omega \right\Vert ^{2}u+(u|\omega )\,\omega $.
👍 - 2018 - On considère $\R^3$ muni de son produit scalaire canonique, noté $\left\langle \ , \ \right\rangle$.
La norme d'un vecteur $x$ est notée $\left\|x\right\|$.

On rappelle que tout s.e.v de $\R^3$ possède au moins une base orthonormée (b.o.n).

On considère un endomorphisme $f$ de $\R^3$ qui vérifie la condition suivante : \[ \forall (x,y)\in (\R^3)^2\ ,\ \left\langle f(x),y\right\rangle = - \left\langle x,f(y)\right\rangle \]
1. Etablir que : $\forall x \in \R^3\ ,\ \left\langle f(x),x\right\rangle=0$.
2. On admet que tout endomorphisme de $\R^3$ admet au moins une valeur propre réelle. Montrer en utilisant la question 1 que 0 est la seule valeur propre réelle de $f$.
  Dans la suite, on se propose de montrer qu'il existe une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est de la forme : \[\begin{pmatrix} 0& \alpha &0 \\ - \alpha &0 &0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \ , \ \text{ avec }\alpha\text{ réel}. \]
3. Montrer que $\ker(f)$ et $\Im(f)$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\R^3$.
4. Résoudre le problème posé si $\dim(\ker(f)) =3$.
5. On suppose dans cette question que $\dim(\ker(f)) =2$.
  1. Montrer que l'on peut trouver une b.o.n $\B=(e_1,e_2,e_3)$ de $\R^3$, où $e_1$ appartient à $\Im(f)$ et $(e_2,e_3)$ est une b.o.n de $\ker(f)$.
  2. Montrer que la matrice de $f$ dans la base $\B$ est de la forme : $ A= \begin{pmatrix} a& 0 &0 \\ b &0 &0 \\ c&0&0 \end{pmatrix} $ .
  3. Vérifier que $\Im(f)$ est stable par $f$ puis montrer que $b$ et $c$ sont nuls.
  4. En considérant le réel $\left\langle f(e_1),e_1 \right\rangle$ donner la valeur de $a$. Que dire de l'hypothèse $\dim(\ker(f)) =2$ ?
6. On suppose dans cette question que $\dim(\ker(f)) =1$.
  1. Montrer que l'on peut trouver une b.o.n $\B=(e_1,e_2,e_3)$ de $\R^3$, où $(e_1,e_2)$ est une b.o.n de $\Im(f)$ et $e_3$ appartient à $\ker(f)$.
  2. Montrer que la matrice de $f$ dans la base $\B$ est de la forme : $ A= \begin{pmatrix} a& b &0 \\ c & d &0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $ .
  3. Montrer que $a$ et $d$ sont nuls et que $c=-b$.
  4. Conclure.
👍 - Sur $\R[X]$, on définit le produit scalaire par: $$ \ps{P,Q }=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt$$ et soit $n\in\N^*$.
1. Montrer que tout polynôme pair est orthogonal à tout polynôme impair.
2. Soit $Q$ un polynôme, non identiquement nul, orthogonal à tout élément de $\R_{n-1}[X]$.
  1. Montrer que $Q$ ne garde pas un signe constant sur $\left] -1,1\right[ $. En déduire que $Q$ possède au moins une racine réelle appartenant à $ ]-1,1[$ de multiplicité impaire.
  2. Soit $p\in\N^*$ et $t_{1} <... < t_{p} $ les racines de $Q$ appartenant à $\left]-1,1\right[$ dont la multiplicité est impaire. Montrer que: $t\longmapsto (t-t_{1})...(t-t_{p})Q(t)$ garde un signe constant sur $\left[ -1,1\right]$. En déduire que: $$ \int_{-1}^{1}(t-t_{1})...(t-t_{p})Q(t)dt\neq 0\, $$
  3. Etablir que $Q$ posséde au moins $n$ racines dans $\left]-1,1\right[$.
  4. Montrer que le polynôme $\left[(X^2-1)^n\right]^{(n)}$ vérifie les hypothèses précédentes. Retrouver ce résultat en utilisant des arguments d'analyse.
😨 - Soit $E$ un espace euclidien. On dit qu'un endomorphisme $u$ est une isométrie s'il conserve la norme: $$ \forall x\in E,\|u(x)\|=\|x\|$$
1. Montrer que les isométries sont des automorphismes.
2. Montrer que les isométries conservent le produit scalaire.
3. Montrer que si $u$ est une isométrie, on a l'équivalence: $$u\text{ est diagonalisable ssi }u^2=\Id_E$$
4. On considère $v$, un endomorphisme de $E$, non nul tel que : $$\langle x,y \rangle =0 \Rightarrow \langle v(x),v(y) \rangle =0\,.$$
  1. Montrer que si $x$ et $y$ sont deux vecteurs de même norme alors $v(x)$ et $v(y)$ aussi.
  2. En déduire qu'il existe $k\in\R^{+*}$ tel que $kv$ soit une isométrie.
5. Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que pour tout $x\in E$, $\|u(x)\|=\|v(x)\|$. On veut montrer qu'il existe une isométrie $w$ de $E$ telle que $u=w\circ v$.
  1. Comparer $\ker(u)$ et $\ker(v)$.
  2. Montrer que $u$ et $v$ induisent des isomorphismes, notés $\hat u$ et $\hat v$ de $\ker(u)^{\bot}$ sur $\Im(u)$ et $\Im(v)$ respectivement.
  3. On pose pour tout $y\in\Im(v)$, $w(y)=u(\hat v^{-1}(y))$. Montrer que pour tout $y\in\Im(v)$, $\|w(y)\|=\|y\|$ et $u(y)=(w\circ v)(y)$.
  4. Soit $(e_1,...,e_p)$ une b.o.n de $\Im(v)^{\bot}$ et $(e'_1,...,e'_p)$ une b.o.n de $\Im(u)^{\bot}$. On définit $w$ sur $\Im(v)^{\bot}$ par pour tout $i\in\zint{1,p}$, $w(e_i)=e'_i$.
    Montrer que $w$ ainsi défini convient.
  ✍️
👍 - 2017 - Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Soit $A$ la matrice de $\mathcal {M} _n(\R)$ dont les éléments diagonaux valent $-n$, les autres valant tous 1. On note $J$ la matrice de $\M_n(\R)$ dont tous les éléments sont égaux à 1, et $\I$ la matrice identité de $\M_n(\R)$.
  1. Exprimer $A$ comme combinaison linéaire de $J$ et de $\I$, puis faire de même pour $A^2$.
  2. En déduire un polynôme annulateur de $A$ puis donner les valeurs propres possibles de $A$.
  3. Montrer que $A$ est inversible.
  Dans la suite, on considère un espace euclidien $E$, de dimension $n+1$, dont le produit scalaire est noté $\left\langle \; , \; \right\rangle$ et la norme $\left\|\ \right\|$.
  
  On note $(\varepsilon_0, \varepsilon_1, ... , \varepsilon_n)$ une b.o.n de $E$ et on pose : $$u=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\;\sum_{k=0}^n\; \varepsilon_k $$
  
  On pose aussi : $\forall i \in \zint{0,n} , e_i=\sqrt{ \displaystyle\frac{n+1}{n} }\; \left( \varepsilon_i- \left\langle \varepsilon_i,u \right\rangle \; u \right) $
2. Calculer la norme du vecteur $u$.
3. 1. Montrer que pour tout $i$ de $[\![0,n]\!]$, on a : $\left\|e_i\right\|=1$.
  2. Montrer également que pout tout couple $(i,j)$ d'entiers distincts de $[\![0,n]\!]$, on a : $\left\langle e_i,e_j \right\rangle = - \; \displaystyle\frac{1}{n}$.
  3. Montrer que les vecteurs $e_0,e_1,...,e_n$ appartiennent au \sev $F=(\Vect(u))^{\bot}$ de $E$.
  4. Montrer en utilisant la question 1.c. que $(e_1,e_2,...,e_n)$ est une base de $F$.
4. On considère l'application $f$ de $F \times F$ dans $\R$ définie par : \[ \forall (x,y) \in F \times F\ ,\ \quad f(x,y)=\displaystyle \sum_{k=0}^n \; \left\langle x,e_k \right\rangle \; \left\langle y,e_k\right\rangle \; - \displaystyle \frac{n+1}{n} \; \left\langle x,y\right\rangle \]
  1. Montrer que $f$ est une forme bilinéaire symétrique.
  2. Pour tout couple $(i,j)$ de $[\![1,n]\!] ^2$ , déterminer $f(e_i,e_j)$ en distinguant les cas $i=j$ et $i \neq j$.
  3. En déduire que : $\forall (x,y) \in F \times F\ ,\ \quad \displaystyle \sum_{k=0}^n \; \left\langle x,e_k \right\rangle \; \left\langle y,e_k\right\rangle = \displaystyle \frac{n+1}{n} \; \left\langle x,y\right\rangle$.
  4. En déduire également que pour tout $x$ de $F$ on a : $$\left\|x\right\|^2=\frac{n}{n+1} \; \sum_{k=0}^n \; \left\langle x,e_k \right\rangle ^2$$
😨 Sur $E=\R_n[X]$ on définit le produit scalaire par: $$ \langle P,Q \rangle=\int_{-1}^{1}\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt $$
1. Montrer qu'il s'agit bien d'un produit scalaire sur $E$.
2. On pose: $\forall P\in E,\,u(P)(X)=(1-X^{2})P''(X)-XP'(X)$.
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme symétrique de $E$ . Qu'en concluez-vous?
  2. Déterminer les valeurs propres de $u$.
3. 1. Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $P_n$ tel que $$\forall t\in \R,\, P_n(\cos(t))=\cos(nt)$$
  2. Déterminer, pour tout $n\in\N$, le degré et le coefficient dominant, noté $c_n$, de $P_n$.
4. 1. Montrer que la famille $P_0,...,P_n$ est une base orthogonale de $E$.
  2. Montrer que $P_n\in(\R_{n-1}[X])^{\bot}$ et que $\|P_n\|^2=c_n\langle X^n, P_n\rangle$.
  3. En déduire que $\left(\dfrac{P_0}{\|P_0\|},...,\dfrac{P_n}{\|P_n\|}\right)$ est la famille de Schmidt associée à la base canonique de $E$.
5. On note $F$ l'ensemble des éléments de $E$, de degré $n$ et de coefficients dominant $1$. Justifier l'existence et calculer, $\displaystyle \min_{Q\in F}\int_{-1}^{1}\frac{Q^2(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$.
😨 Dans cet exercice, on identifie $\R^n$ et $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$, c'est à dire qu'on identifie un vecteur de $\R^n$ avec le vecteur-colonne de ses coordonnées dans la base canonique de $\R^n$.
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ symétrique réelle de valeurs propres $\lambda_1\leq \lambda_2\leq ...\leq \lambda_n$, et $D$ la matrice diagonale d'éléments diagonaux ces valeurs.

On cherche à montrer que pour tout couple $(X,Y)\in(\R^n)^2$ de vecteurs orthogonaux: $$ \left|\,^tXAY\right|\leq \frac 1{2}(\lambda_n-\lambda_1)\|X\|\|Y\|\quad (1)$$ où la norme désigne la norme euclidienne canonique de $\R^n$.
1. Montrer que pour prouver (1), il suffit d'établir que pour tout couple $(X,Y)\in(\R^n)^2$ de vecteurs orthogonaux: $$\left|\,^tXDY\right|\leq \frac1{2}(\lambda_n-\lambda_1)\|X\|\|Y\|\quad (2)$$
2. Soit $(X,Y)$ un tel couple.
3. Exprimer $\,^tXDY$ en fonction des $\lambda_i$, des composantes de $X$ et de celles de $Y$.
4. 1. Soit $t$ un réel. Montrer que $\,^tXDY=\,^tX(D-t\I_n)Y$.
  2. Déterminer quelle est la valeur de $t$ qui minimise $\displaystyle\max_{k\in\zint{1,n}}|\lambda_k-t|$ et donner la valeur de ce maximum pour cette valeur de $t$.
5. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les questions précédentes, démontrer (2) et conclure.
6. Trouver un couple $(X,Y)$ qui réalise l'égalité dans (1).
👍 - 2015 - On considère l'espace euclidien $\R^n$ muni du produit scalaire canonique.
Pour tout couple $(x,y)$ de $\R^n$ , on note $\left\langle x,y \right\rangle$ le produit scalaire canonique de $x$ et de $y$.

On note $\B=(e_1,e_2,...,e_n)$ la base canonique de $\R^n$ et on rappelle qu'elle est orthonormale pour le produit scalaire $\left\langle .,. \right\rangle$.

On considère un endomorphisme $f$ de $\R^n$ , symétrique, dont les valeurs propres sont toutes strictement positives.
1. Justifier l'existence d'une base orthonormée de $\R^n$, $\B'=(u_1,u_2,...,u_n)$, formée de vecteurs propres de $f$.
2. 1. Montrer que pour tout $x$ de $\R^n$ , on a : $\left\langle x , f(x) \right\rangle \geq 0$.
  2. Vérifier que l'égalité $\left\langle x , f(x) \right\rangle = 0$ a lieu si et seulement si $x=0$.
  3. En déduire que l'application $\varphi$ , de $\R^n \times \R^n$ dans $\R$ , définie par $ \ \varphi(x,y)= \left\langle x , f(y) \right\rangle$, est un produit scalaire sur $\R^n$.
3. 1. En utilisant $\B'$, montrer qu'il existe un endomorphisme $g$ de $\R^n$, symétrique pour le produit scalaire canonique, dont les valeurs propres sont strictement positives, et vérifiant $g^2=f$.
  2. Etablir que $g$ est bijectif.
  3. Montrer que la famille $(g^{-1}(e_1), g^{-1}(e_2),...,g^{-1}(e_n)) $ est une base orthonormée de $\R^n$ pour le produit scalaire $\varphi$.
4. Une caractérisation.
  1. Montrer qu'il existe une base de $\R^n$, $(u_1,...,u_n)$ telle que, pour tout $x\in\R^n$, $$ f(x)=\sum_{k=1}^n \langle x, u_k\rangle u_k$$
  2. Réciproquement, montrer que si $(u_1,...,u_n)$ est une base de $\R^n$, alors l'application $x\mapsto\displaystyle \sum_{k=1}^n \langle x, u_k\rangle u_k$ est un endomorphisme symétrique de $\R^n$ dont les valeurs propres sont strictement positives.