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TD5 - Fin des révisions des probabilités de première année et compléments
-
👍 Inégalité de Hoeffding et loi forte des grands nombres. Soit $X$ une variable aléatoire réelle centrée et $K$ une constante telle que $|X|\leq K$ presque surement.
- Soit $\varepsilon>0$ et $(Y_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires telles que, pour tout $n\in\N^*$, $Y_n$ suive la loi $\B(n,p)$. On pose $u_n=\Pb\left(\left[\left|\dfrac{Y_n}n-p\right|\geq \varepsilon\right]\right)$.
L'inégalité de Bienaymé-Tchébichev 📚permet-elle de connaitre la nature de la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$?
- On pose pour tout $t\in\R$, $\varphi(t)=\ln\left(\dfrac{\e^{-Kt}+\e^{Kt}}2\right)$.
- Étudier les variations de $\varphi$.
- Montrer que pour tout $t\in\R^+$, $\varphi''(t)\leq K^2$. En déduire $0\leq \varphi(t)\leq K^2\dfrac{t^2}2 $.
-
- Montrer que pour tout $x\in[-1,1]$ et $t\in\R$, $\e^{tx}\leq \dfrac{1-x}2\e^{-t}+\dfrac{1+x}2\e^{t}$
💁♂️📚.
- En déduire que, pour tout $t\in\R^+$, $\E(\e^{tX})\leq \dfrac{\e^{-Kt}+\e^{Kt}}2\leq \exp\left(K^2\dfrac{t^2}2\right)$ 📚.
- Montrer que pour tout $x\in[-1,1]$ et $t\in\R$, $\e^{tx}\leq \dfrac{1-x}2\e^{-t}+\dfrac{1+x}2\e^{t}$
-
- Établir que pour tout $t>0$, $\Pb([\overline X_n-m\geq \varepsilon])\leq \exp\left(K^2\dfrac{t^2}{2n}-t\varepsilon\right)$ où $\overline X_n=\dfrac 1n\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k$ 📚📚.
- En déduire que $\Pb([|\overline X_n-m|\geq \varepsilon])\leq 2\exp\left(-n\dfrac{\varepsilon^2}{2K^2}\right)$
💁♂️. Que peut en conclure pour la série de la question 1?
- Établir que pour tout $t>0$, $\Pb([\overline X_n-m\geq \varepsilon])\leq \exp\left(K^2\dfrac{t^2}{2n}-t\varepsilon\right)$ où $\overline X_n=\dfrac 1n\displaystyle\sum_{k=1}^nX_k$
- 😱 En déduire que $\Pb\displaystyle\left(\bigcap_{k=1}^{+\infty}\bigcup_{n\geq k} [|\overline X_n-m|\geq \varepsilon]\right)=0$ puis $\Pb([\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\overline X_n=m])=1$
📚📚.
👨🏫
- Soit $\varepsilon>0$ et $(Y_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires telles que, pour tout $n\in\N^*$, $Y_n$ suive la loi $\B(n,p)$. On pose $u_n=\Pb\left(\left[\left|\dfrac{Y_n}n-p\right|\geq \varepsilon\right]\right)$.
L'inégalité de Bienaymé-Tchébichev
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😨 Deux généralisations de Cauchy-Schwarz - Dans cet exercice, $0^x=0$ si $x>0$.
- Soit $x_1,...,x_n$ des réels positifs et $p_1,...,p_n$ des réels strictement positifs tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{p_k}=1$.
Montrer que
💁♂️📚: $$\displaystyle\prod_{k=1}^n x_k\leq \displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{p_k}x_k^{p_k}$$
- Soit $X$ et $Y$ deux var à valeurs positives, $p$ et $q$ deux réels strictement positifs tels que $\dfrac 1p+\dfrac 1q=1$. Montrer que $\E(XY)$ existe et vérifie:
$$\E(XY)\leq (\E(X^p))^{\frac 1p}(\E(Y^q))^{\frac 1q}$$
(on pourra commencer par le cas où $(\E(X^p))^{\frac 1p}(\E(Y^q))^{\frac 1q}=0$, puis le cas $\E(X^p)=1$ et $\E(Y^q)=1$ puis s'y ramener)
💁♂️📚.
- Montrer que si $X_1,...,X_{2n}$ sont des var possédant chacune un moment d'ordre $2n$, alors $\E(X_1...X_{2n})$ existe et vérifie
💁♂️: $$\left(\E\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{2n}X_k\right)\right)^{2n}\leq \displaystyle\prod_{k=1}^{2n}\E(X_k^{2n})$$
- Soit $x_1,...,x_n$ des réels positifs et $p_1,...,p_n$ des réels strictement positifs tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{p_k}=1$.
Montrer que
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👍 -
-
Soit $p\in \ ]0,1[$, $\lambda$ et $\mu$ deux réels strictement
positifs. On pose
$$f(x)= \begin{cases} p\, \mu\, \e^{\mu x} &\text{ si }x<0\cr
(1-p) \lambda\, \e^{-\lambda x} &\text{ si }x\geq 0
\end{cases}$$
- Montrer que $f$ est une densité de probabilité
📚.
On note $X$ une variable aléatoire de densité $f$.
- Soit $(Y_n)_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes
définies sur $(\Omega, {\cal A}, \Pb)$ et de même loi que $X$. Pour
tout $n\geq 1$, on pose :
$$I_n(\omega)=\begin{cases} 1 &\text{ si }Y_n(\omega) >0\cr
0 &\text{ si }Y_n(\omega)\leq 0
\end{cases}$$
Montrer que $(I_n)_n$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que l'on précisera
💁♂️📚. - Soit $Z_n= I_nY_n$.
- Montrer que $(Z_n)_n$ est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. Déterminer la fonction de répartition de $Z_1$.
- On pose $S_n= \sum\limits_{k=1}^n I_k$ et $V_n= \sum\limits_{k=1}^n Z_k$. Les deux variables aléatoires $S_n$ et $V_n$ sont-elles indépendantes ? Donner la loi de $S_n$.
-
- Déterminer la loi suivie par la somme de $n$ variables
aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle ${\cal
E}(\alpha)$ (on pourra commencer par le cas $n=2$ ou se ramener ou cas au $alpha=1$.)
📚.
- Déterminer, à l'aide d'une intégrale, pour tout $n\geq 1, k\in \zint{1,n}$ et $x\geq 0$ : $\Pb_{[S_n=k]}([V_n\leq x])$.
- En déduire une expression de la loi de $V_n$.
- Déterminer la loi suivie par la somme de $n$ variables
aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle ${\cal
E}(\alpha)$ (on pourra commencer par le cas $n=2$ ou se ramener ou cas au $alpha=1$.)
- Montrer que $f$ est une densité de probabilité
-
👍 Deux individus, Donald et Kim, se donnent r.d.v à un endroit précis entre 17h et 18h. On suppose que l'heure d'arrivée de chacun est uniformément distribuée et qu'elles sont indépendantes. On note $X_D\,,X_{K}$ les heures d'arrivée de Donald et de Kim.
- Déterminer la loi de l'heure d'arrivée de celui qui arrive le
premier
💁♂️.
- On pose $Z=\left| X_{D}-X_{K}\right| \,.$ Déterminer la loi de $
-X_{K}$. En déduire la loi de $Z$ 📚.
- Ils ont de plus décidé de ne pas s'attendre plus de 15mn.
Déterminer la probabilité qu'ils se rencontrent
💁♂️.
- Combien de temps doivent-ils s'attendre pour avoir une probababilité $1-\alpha$ de se rencontrer?
- Déterminer la loi de l'heure d'arrivée de celui qui arrive le
premier
-
👍 On considère une suite de variables $(D_k)_{k\geq 1}$ qui suivent la loi uniforme sur $\left[ 0,\theta\right]$, indépendantes et une deuxième suite indépendante de la première $(X_k)_{k\geq 1}$ de variables inépendantes qui suivent la loi $\mathcal{E}\left(1\right)$.
- On note:
- pour tout $k\in\N^*$, $Y_k=D_k+X_k$;
- $N$ une v.a.r indépendante des v.a.r définies précédemment suivant la loi $\mathcal{P}(\lambda\theta)$;
- pour tout $n\in\N^*$ et $t\geq \theta$, $Z_{n,t}$ la variable aléatoire égale au nombre de $k\in\zint{1,n}$ tels que $Y_k>t$;
- pour tout $t\geq \theta$, $Z_t$ la variable aléatoire égale au nombre de $k\in\zint{1,N}$ tels que $Y_k>t$ et $Z_t=0$ si $N=0$.
- Déterminer la loi de $Y_k$ 💁♂️📚.
- Réaliser la simulation de $Z_t$ avec Scilab
. En supposant qu'elle est applicable, utiliser la méthode de Monte-Carlo pour estimer $\E(Z_t)$ pour $t=13$, $\theta=12$ et $\lambda=5$
📚💁♂️.
-
- Pour tout $k\in\N^*$ et $t\geq \theta$, calculer $\Pb([Y_k > t])$.
- Si $n\in\N^*$ et $t\geq \theta$, déterminer la loi de $Z_{n,t}$
💁♂️📚.
- Pour tout $t\geq \theta$, quelle est la valeur de $Z_t(\omega)$ si $N(\omega)=n$? Déterminer la loi de $Z_t$ puis $\Pb([Z_t=0])$💁♂️📚.
- Si $t$, $\lambda$, $\theta$ sont donnés, comment choisir $t$ pour que $\Pb([Z_t=0])\geq 1-\alpha$. Déterminer $\theta$ si $t=12$, $\lambda=5$ et $\alpha=0.1$.
-
👍 - Processus de Poisson
On se place sur un espace probabilisé et on étudie un phénomène qui se reproduit à des intervalles de temps aléatoires $X_1$,...,$X_n$,... où les var $X_{k}$ sont continues et indépendantes. On note $N_{t}$ la variable au nombre de fois où il s'est produit avant l'instant $t$ en supposant qu'à l'instant $0$ il ne s'est jamais produit.
- On suppose que la loi des $X_k$ est la loi $\mathcal{E}(\lambda)$.
- Montrer que: $\lambda\left(\dsum_{k=1}^n X_{k}\right)\hookrightarrow \gamma (n)\,$
📚📚. En déduire la loi de $\dsum_{k=1}^n X_{k}$📚.
- Etablir que: $\Pb([N_{t}=n])=\Pb\left(\left[\dsum_{k=1}^n X_{k}\leq t\right]\right)-\Pb\left(\left[\dsum_{k=1}^{n+1} X_{k}\leq t\right]\right)$
💁♂️.
- A l'aide d'une intégration par partie, en déduire la loi de $
N_{t}$📚.
- Montrer que: $\lambda\left(\dsum_{k=1}^n X_{k}\right)\hookrightarrow \gamma (n)\,$
- On suppose réciproquement que, pour tout $t>0$, $N_{t}\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda t)$ et on note $f_k$ une ddp de $X_k$, dont on suppose que sa restriction à $[0,+\infty[$ est continue.
- Déterminer la loi de $X_1$.
- En raisonnant par récurrence, déterminer la loi des $X_k$ (on admettra que l'on peut utiliser la formule de convolution pour exprimer une
ddp de $X_1+...+X_{n+1}$ en fonction d'une ddp de $X_1+...+X_n$ et d'une ddp de $X_{n+1}$) 📚.
- On suppose que la loi des $X_k$ est la loi $\mathcal{E}(\lambda)$.
-
2019 - 👍
Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, {\cal A}, \Pb)$.
Une variable aléatoire $X$ est dite symétrique si $X$ et $-X$ suivent la même loi.
- Donner un exemple de variable aléatoire discrète symétrique 📚.
-
- Soit $X$ une variable aléatoire à densité. Montrer que $X$ est symétrique si et seulement une au moins de ses densités est paire 📚.
- Donner un exemple de variable aléatoire à densité qui soit symétrique.
On suppose dorénavant que les variables aléatoires considérées sont symétriques et à densité bornée.
- Soit $X$ une variable aléatoire à densité. Montrer que $X$ est symétrique si et seulement une au moins de ses densités est paire
- Soit $X$ et $Y$ deux telles variables aléatoires indépendantes et symétriques.
Montrer que $X+Y$ et $X-Y$ sont symétriques 📚.
Pour $n$ entier supérieur ou égal à $2$, soit $X_1,X_2,\ldots,X_n$ des variables aléatoires à densité bornée, indépendantes, symétriques et de même loi, centrées et de variance $\sigma^2$. Pour tout entier $k \in \zint{1,n}$, on pose $T_k = X_1+ \cdots+X_k$.
- Pour tout entier $k \in \zint{1,n}$, calculer $\Pb(T_n-T_k\geq 0)$.
Soit $x$ un réel positif. Pour tout entier $ k\in \zint{1,n}$, on pose $$ A_k = \left[\max_{i< k} T_i\leq x\right] \cap \left[T_k>x\right] $$ c'est-à-dire $$ A_k = \begin{cases} (T_1>x) &\text{ si }k=1 \\ (T_1\leq x) \cap \cdots \cap (T_{k-1} \leq x) \cap (T_k>x) &\text{ si } k\geq 2 \end{cases}$$ -
-
Pour tout entier $k \in \zint{1,n}$ comparer les événements suivants :
- $B = \left( \displaystyle\max_{1\leq i\leq n} T_i>x \right)$ et $C = \displaystyle\bigcup_{1\leq k\leq n} A_k$.
- $D = (T_n-T_k\geq 0)\cap A_k$ et $E = (T_n>x)\cap A_k$.
-
- Montrer que $\Pb([T_n-T_k\geq 0]\cap A_k) \geq \displaystyle\frac{1}{2} \Pb(A_k)$.
- En déduire l'inégalité suivante : $$ \Pb(\max_{1\leq i \leq n} T_i>x) \leq 2 \Pb(T_n>x) $$
- Donner un exemple de variable aléatoire discrète symétrique
-
👍 - d'après
- Grandes déviations de la loi normale -
Dans cette exercice, $(X_{n})_{n\geqslant 1}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée réduite, $
\mathcal{N}(0,1)$
📚et $S_n=\dsum_{k=1}^n X_k$.- Quelle est la loi de ${\dfrac{S_{n}}{n}}$
📚?
- Soit $\delta $ un réel strictement positif. On note
$\exp $ la fonction exponentielle.
- Montrer que
\begin{equation*}
\Pb\left( \left[\left\vert \dfrac{S_{n}}{n}\right\vert \geqslant \delta \right]\right)
=2\Pb\left( \left[\dfrac{S_{n}}{n}\geqslant \delta \right]\right) =\sqrt{\dfrac{2n}{\pi }}%
\int_{\delta }^{+\infty }\exp \left( -{\dfrac{nt^{2}}{2}}\right) dt
\end{equation*}
📚
- En posant $u=n(t-\delta )$, montrer que \begin{equation*} \Pb\left( \left[\left\vert \dfrac{S_{n}}{n}\right\vert \geqslant \delta \right]\right) =% \sqrt{\dfrac{2}{n\pi }}\times \exp \left( -{\dfrac{n\delta ^{2}}{2}}\right) \int_{0}^{+\infty }\exp \left( -{\dfrac{u^{2}}{2n}}-u\delta \right) du \end{equation*}
- Montrer que
\begin{equation*}
\Pb\left( \left[\left\vert \dfrac{S_{n}}{n}\right\vert \geqslant \delta \right]\right)
=2\Pb\left( \left[\dfrac{S_{n}}{n}\geqslant \delta \right]\right) =\sqrt{\dfrac{2n}{\pi }}%
\int_{\delta }^{+\infty }\exp \left( -{\dfrac{nt^{2}}{2}}\right) dt
\end{equation*}
-
- Montrer que pour tout $x\geqslant 0$, on a, $0\leqslant 1-\exp (-x)\leqslant x$.
- Déterminer \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \int_{0}^{+\infty }\exp (-u\delta )du-\int_{0}^{+\infty }\exp \left( -{\dfrac{u^{2}}{2n}}% -u\delta \right) du\right) \end{equation*}
- En déduire, lorsque $n$ tend vers l'infini, un équivalent de $\Pb\left( \left[\left\vert \dfrac{S_{n}}{n}\right\vert \geqslant \delta \right]\right) $.
- 😨 Montrer que $\dsum_{n=1}^{+\infty}\Pb\left(
\left[\left\vert \dfrac{S_{n}}{n}\right\vert \geqslant \delta \right]\right)$ est convergente.
En déduire que, pour tout $N\in\N^*$, $$\displaystyle\Pb\left(\bigcap_{k\in\N^*}\left(\bigcup_{n\geq k}
\left[\left\vert \dfrac{S_{n}}{n}\right\vert \geqslant \frac 1N \right]\right)\right)=0$$
📚📚En déduire que l'on a presque surement: $\dlim_{n\to +\infty}\dfrac{S_n(\omega)}n=0$.
- Quelle est la loi de ${\dfrac{S_{n}}{n}}$
-
👍 - d'après
- Évenements exceptionnels de la loi de Cauchy
Du fait de la décroissance rapide à l'infini de la fonction densité des variables gaussiennes, celles-ci n'accordent que peu d'importance aux valeurs extrêmes. Aussi, pour inclure, dans un modèle mathématique, l'é ventualité de phénomènes extrêmes, on est amené à privilégier des lois dont la fonction densité décroît moins vite à l'infini. Le but de cette partie est d'étudier ce qu'il en est pour la loi de Cauchy de d.d.p $f$ définie pour tout $x\in\R$, par: $$f(x)=\dfrac 1{\pi(1+x^2)}$$- Dans cette exercice, $(X_{i})_{i\geqslant 1}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Cauchy.
- On dira qu'un événement exceptionnel s'est produit avant l'instant $n$, s'il existe un entier $k$ inférieur ou égal à $n$ tel que, pour tout entier $i$ inférieur ou égal à $n$ et différent de $k$, $\left\vert X_{k}\right\vert >2\left\vert X_{i}\right\vert $.
- Autrement dit, à l'instant $n$, la variable la plus forte de l'histoire (en valeur absolue) est supérieure au double de chacune des autres variables.
- On appellera $E_{n}$ un tel événement. Ainsi, \begin{equation*} E_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}\left(\bigcap_{1\leqslant i\leqslant n% ,i\not=k}\left[\left\vert X_{k}\right\vert >2\left\vert X_{i}\right\vert \right]\right) \end{equation*}
- Montrer que : \begin{equation*} \Pb(E_{n})=n\Pb\left(\bigcap_{i=2}^{n}[\left\vert X_{1}\right\vert >2\left\vert X_{i}\right\vert ]\right) \end{equation*}
- En déduire que : \begin{equation*} \forall A>0,\quad \Pb(E_{n})\geqslant n\Pb\left([\left\vert X_{1}\right\vert >2A]\cap \left(\bigcap\limits_{i=2}^{n}[\left\vert X_{i}\right\vert < A]\right)\right) \end{equation*}
- Montrer que : $\forall A>0,\;\Pb\left(\left[\left\vert X_{1}\right\vert >A\right]\right)=% \dfrac{2}{\pi }\arctan {\dfrac{1}{A}}$.
- Soit $\lambda >0$, et $n$ assez grand pour que $\dfrac{\pi \lambda }{2n% }<\dfrac{\pi }{2}$. En choisissant $A={\dfrac{1}{\tan {\dfrac{\pi \lambda }{% 2n}}}}$, montrer que \begin{equation*} \Pb(E_{n})\geqslant n\Pb\left(\left[\left\vert X_{1}\right\vert >\frac{2}{\tan \frac{\pi \lambda }{2n}}\right]\right)\left(1-\dfrac{\lambda }{n}\right)^{n-1} \end{equation*}
- Soit $\varepsilon >0$ et $\lambda >0$. Montrer que, pour tout entier $% n $ assez grand, $\Pb(E_{n})>\dfrac{\lambda }{2}e^{-\lambda }-\varepsilon $.
- En déduire que, pour tout entier $n$ assez grand, $\Pb(E_{n})>{\dfrac{1}{% 6}}$.
-
👍 On considère une suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\in\N^*}$ telles que pour tout $n\in\N^*$, $X_n$ suit la loi normale $(0,n)$📚. On note $\Phi$ la fonction de répartition de la loi normale $(0,1)$.
- Montrer que pour tout $n\in\N^*,n\geq 2$, il existe un unique réel $x_n$ positif tel que $\Pb\left([X_n\leq x_n]\right)=\dfrac{n-1}n$ et $\Pb\left([X_n\leq -x_n]\right)=\dfrac{1}n$.
- On suppose que $n=100$. On réalise $1000$ simulations indépendantes de la loi de $X_{100}$ avec Scilab que l'on classe dans un tableau $T$ dans l'ordre croissant. Quelle valeur de $k$ choisir pour que la valeur de $T[k]$ nous donne une idée de $x_{100}$?
- Montrer que $\dlim_{n\to +\infty}\dfrac{x_n}{\sqrt n}=+\infty$.
- On pose pour tout $x>0$, $G(x)=\sqrt{2\pi}(1-\Phi(x))$. Montrer que: $$ G(x)=\dfrac{e^{-\frac{x^2}2}}x-\dint_x^{+\infty}\dfrac{e^{-\frac{t^2}2}}{t^2}dt$$ En déduire que $1-\Phi(x)\underset{x\to +\infty}\sim \dfrac{e^{-\frac{x^2}2}}{\sqrt{2\pi}x}$.
- On pose pour tout $n\geq 2$, $y_n=\dfrac{x_n}{\sqrt n}$. Calculer $\Phi(y_n)$ et en déduire que $$\dfrac{e^{-\frac{y_n^2}2}}{y_n}\sim \dfrac{\sqrt{2\pi}}n$$ puis que $y_n\sim\sqrt{2\ln(n)}$ et enfin un équivalent de $x_n$.
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-
👍 Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement les loi $\Expo(\lambda)$ et $\Expo(\mu)$.
- Déterminer la loi de $I=\min(X,Y)$.
- Déterminer une densité de $X-Y$ puis montrer qu'une densité de $Z=|X-Y|$ est la fonction $h$ définie sur $\R$ par: $$h(x)=\begin{cases}\dfrac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\left(\e^{-\lambda x}+\e^{-\mu x}\right)&\text{ si }x\geq 0\\ 0\text{ sinon.} \end{cases}$$
- Montrer que $IZ=XY-I^2$.
- En déduire que $\E(IZ)=\E(I)\E(Z)$.
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