Frais du 29 Décembre 2021

1. 👍 Soit $E$ un $\K$-ev, $u$ un endomorphisme de $E$, $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls à coefficients dans $\K$ n'ayant aucune racine réelle ou complexe en commun.

   On suppose aussi que $d°(P)\geq d°(Q)$.

   1. Justifier qu'il existe un unique polynome $T$ tel que $d°(P-TQ)< d°(Q)$. On note alors $R=P-TQ$.
   2. En raisonnant par récurrence forte sur $n=d°(Q)$, montrer que: $$\ker(P(u))\cap\ker(Q(u))=\{0_E\}$$
   3. En déduire que $\ker(P(u))\oplus\ker(Q(u))\subset\ker(P(u)\circ Q(u))$.
   4. On suppose que $E$ est de dimension finie et que $PQ$ est un polynôme annulateur de $u$. Montrer que $\ker(P(u))\oplus\ker(Q(u))=E$.