Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques de $n$ variables

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1. 😨 On considère une loi $\mu(\theta)$, $\theta\in\Theta$ et $(T_n)_{n\geq 1}$ une suite d'estimateurs de $g(\theta)$ dont le risque quadratique $r_{\theta}(T_n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. On suppose de plus que l'on connait une suite $(u_n)_{n\geq 1}$ tendant vers $0$, telle que , que pour tout $n\in\N^*$ et tout $\theta\in\Theta$, $r_{\theta}(T_n)\leq u_n$.

   Soit $\alpha\in]0,1[$, déterminer pour tout $n$ assez grand, un estimateur de $g(\theta)$ par intervalle de confiance au niveau de risque $\alpha$ de $g(\theta)$.

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2. 😨 On s'intéresse à une loi $\Nor(m,\sigma^2)$ de paramètres inconnus. Si $(X_1,...,X_n)$ est un échantillon de cette loi, on pose alors $$M_n=\dfrac{\sqrt{\pi}}{n}\left(\dsum_{k=1}^{\entiere{\frac n2}}|X_{2k}-X_{2k-1}|\right)$$ Montrer que $M_n$ est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent de $\sigma$. Si $\alpha\in]0,1[$, déterminer un intervalle de confiance

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   d'estimation de $\sigma$ au niveau de risque $\alpha$ .

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3. 👍 Soit $[U_n,V_n]$ un estimateur par intervalle de confiance de $g(\theta)$, à valeurs dans $I$ un intervalle de $\R$ pour tout $\theta$ et $n\geq 1$, au niveau de risque $\alpha$. Soit $f$ une fonction continue et monotone sur $I$. Déterminer un estimateur par intervalle de confiance de $f(g(\theta))$ au niveau de risque $\alpha$.

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4. 👍 On veut estimer $g(\theta)=F_{\theta}(a)$, la valeur de la fonction de répartition au point $a$ fixé d'une loi $\mu_{\theta}$, $\theta$ inconnu. On définit pour tout $k\geq 1$, $Y_k$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si $[X_k\leq a]$ est réalisé et $0$ sinon, lorsque $(X_1,...,X_n)$ est une échantillon de la loi $\mu_{\theta}$. Déterminer un estimateur par intervalle de confiance et un estimateur par intervalle de confiance asymptotique de $F_{\theta}(a)$ au niveau de risque $\alpha$.

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5. 👍 Soit $X$ une v.a.r. à valeurs dans l'intervalle $I$, de loi $\mu_{\theta}$ d'espérance $g(\theta)=m\in I$ et de variance $1$. Soit $\varphi$ une fonction définie et dérivable sur $I$ telle que $\varphi'(m)\neq 0$. On définit la fonction $h$ sur $I$ par: $$h(x)=\begin{cases}\dfrac{\varphi(x)-\varphi(m)}{x-m} & \text{ si }x\neq m,\\ \varphi'(m) & \text{ sinon.}\end{cases}$$ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d à valeurs dans $I$ de même loi que $X$.
   Établir que $h(\overline X_n)\sqrt{n}(\overline X_n-m)\cvl V$, où $V\suit \Nor(0,(\varphi'(m))^2)$ quand $n\to +\infty$. 😨 En déduire un intervalle de confiance asymptotique d'estimation de $\varphi(m)$ au niveau de risque $\alpha$.

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6. 👍 Pour tout $(x,y)\in \R^{2}$, $\quad f(x,y)=x^{2}+4xy+y^{2}+2x^{2}y^{2}$. calculer $\nabla(f)(x,y)$ et déterminer les points critiques de $f$. Idem pour $f(x,y,z)=\frac{x^2}2 + xyz + y - z$.

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7. 👍 Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^2$. On fixe $(x,y)$ et on définit $g$ sur $\R$ par $g(t)=f(x+t,y+t)$ pour tout $t$ réel. Montrer $g$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $\R$ et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$.

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   On suppose de plus que pour tout $(x,y)$, $\partial_1(f)(x,y)+\partial_2(f)(x,y)=0$. En déduire qu'il existe une fonction $\varphi$, de classe $\C^1$ sur $\R$ telle que pour tout $(x,y)$, $f(x,y)=\varphi(x-y)$.

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   Réciproque?

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8. 👍 On dit qu'une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ est convexe si pour tout $(x,y)\in(\R^n)^2$, pour tout $t\in[0,1]$, $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$. Montrer que $f\in C^1(\R^n)$ est une fonction convexe ssi $\forall (x,y)\in(\R^n)^2$, $f(y)\geq f(x)+\ps{\nabla(f)(x),y-x}$.

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   Que peut-on en déduire si $x$ est un point critique de $f$ une fonction convexe?

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9. 👍 Montrer que la fonction $f_3$ définie sur $\R^3$ par $f_3(x,y,z)=\exp(x+y+z)-xyz+1$ possède un seul point critique sur $\R^3$. 😨 Plus généralement, déterminer le nombre de points critiques de $f_n$ définie par $f_n(x_1,...,x_n)=\exp\left(\dsum_{i=1}^n x_i\right)-\left(\disp\prod_{i=1}^n x_i\right)+1$ sur $\R^n$.

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10. 👍 Déterminer les fonctions de classe $C^1$ sur $\R^n$ pour lesquelles on a pour tout $x$, $\nabla(f)(x)$ orthogonal à $x$. Soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R$, on pose pour tout $x\in\R^n$, $f(x)=g\left(\|x\|^2\right)$. Montrer que $f\in C^1(\R^n)$ et qu'en tout point $\nabla(f)(x)$ est colinéaire à $x$.

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11. 👍 Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ et $F$ un sev de $\R^n$ tels que, pour tout $x\in \R^n$, $\nabla(f)(x)\in F$. Soit $p$ le projecteur orthogonal sur $F$. Montrer que pour tout $x\in\R^n$, $f(x)=f(p(x))$. Que peut-on en déduire si pour tout $x\in\R^n$, $\nabla(f)(x)=0_n$?

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12. 😨 Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ , $x$ un point non critique de $f$ et $h$ un vecteur de norme $1$ de $\R^n$. Montrer que $\partial_h(f)(x)$ est maximale lorsque $h=\dfrac{\nabla(f)(x)}{\|\nabla(f)(x)\|}$. Pour quels $h$ a-t-on $|\partial_h(f)(x)|$ minimale?

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