TD7 - Révisions de 1ère année sur les nombres complexes, les polynômes et les espaces vectoriels

👍 - Les polynômes de Tchebichev
1. Pour $\theta $ réel, calculer, $$ \cos (n\theta )=\frac{1}{2}\left[ (\cos (\theta )+i\sin (\theta ))^{n}+(\cos (\theta )-i\sin (\theta ))^{n}\right] , $$ sous la forme d'un polynôme en $\cos (\theta )$ que l'on notera $P_n$
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  . Déterminer ce polynôme pour $n=2,3,4$ .
2. Montrer que les racines de $P_n$ sont les $\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$ pour $k\in\zint{0,n-1}$. En déduire une factorisation de $P_n$.
3. Établir une relation de récurrence entre $P_{n+2},\, P_{n+1}$ et $P_n$. En déduire une nouvelle expression de $P_n(x)$ pour $|x|\geq 1$.
👍 Soit $a$ un réel.
1. Résoudre dans $\C$ l'équation $(z+1)^{n}=e^{i2na}$.
2. Factoriser dans $\C[X],$ le polynôme $P_{n}(X)=(X+1)^{n}-e^{i2na}$. En déduire la valeur de $\displaystyle p_{n}=\prod_{k=0}^{n-1}\sin (a+k\frac{\pi }{n})$.
3. On suppose désormais $\sin(a)\neq 0$, montrer $\displaystyle \lim_{a\rightarrow 0}\frac{p_{n}}{\sin (a)}=\frac{n}{2^{n-1}}$. En déduire la valeur de $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\sin (k\frac{\pi }{n})$.
👍 - On définit pour $n\in\N$, la suite de polynômes $(P_{n}(X))$ par: $$ \left\{ \begin{array}{l} P_{0}(X)=1,P_{1}(X)=2-X \\ \forall n\in\N^*,P_{n+1}(X)=2(2n+1)P_{n}(X)+X^{2}P_{n-1}(X) \end{array} \right. $$
1. Expliquer pourquoi il s'agit bien d'une suite de polynômes à coefficients entiers.
2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P_{n}$ en fonction de $n$.
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3. Etablir que: $\forall n\in\N$, $ P_{n}(0)=\frac{(2n!)}{n!}.$
4. Montrer que: $\forall x<2,$ $P_{n}(x)>0,$ et $\forall x\leq 0$, $P_{n}(x)\geq P_{n}(0).$
😨 - Soit $f$ un endomorphisme de $E$ un $\K$-ev de dimension $n$. Soit $p\in \mathbb{N} ^{\ast },$ tel que $f^{p-1}\neq 0_{\L(E)}$ et $f^{p}=0_{\L(E)}$.
1. Montrer qu'il existe $e\in E$ tel que la famille $% (e,f(e),...,f^{p-1}(e))$ soit une famille libre de $E$. Que peut-on en déduire pour $p$ et pour la dimension de $\Im(f)$?
2. On suppose désormais que $p=n$. Que peut-on en déduire pour $ (e,f(e),...,f^{n-1}(e))$?
3. Soit $C(f)=\{g\in \mathcal{L}(E)/\ g\circ f=f\circ g\}$.Démontrer que $C(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ dont une base est $(\Id_E,f,...,f^{n-1})$.
4. Soit $h\in \mathcal{L}(E)$ qui commute avec $f$. Prouver que $\Id_E+h\circ f$ est bijectif.
👍 - Polynômes d'interpolation de Lagrange - Soit $(a_{0},...,a_{n})\in \K ^{n},$ tel que les $a_{i}$ soient distincts deux à deux. On définit les polynômes $L_{i}$ par: $$ \forall i\in \zint{0,n},\,L_{i}(X)=\prod_{k=0,k\neq i}^{n}\frac{X-a_{k}}{ a_{i}-a_{k}} $$
1. Montrer que $L_{i}\in \K_{n}[X]$ et calculer, $\forall j\in \zint{0,n},$ $L_{i}(a_{j}).$
2. Montrer que la famille $(L_{0},...,L_{n})$ est une base de $\K _{n}[X]$ et déterminer les coordonnées d'un polynôme $P\in \K_{n}[X]$ dans cette base.
3. Soit $(b_{0},...,b_{n})\in \K^{n+1}$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $Q\in \K_{n}[X],$ dont on déterminera les coordonnées dans la base $(L_{0},...,L_{n}),$ tel que: $$ \forall k\in \zint{0,n}, Q(a_{k})=b_{k}. $$
4. 😨 On considère $x_1,...,x_n$ des éléments de $\K$ tels que: $$\forall k\in\zint{1,n},\dsum_{j=1}^n x_j^k=0$$ Montrer que les $x_j$ sont tous nuls.
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1. Dans cette question $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ qui vérifie $f\circ(f-\Id)^2=0$, où $\Id$ désigne l'endomorphisme identité de $\mathbb{R}^n$.
  1. Déterminer $(f-\Id)^2+f\circ(2\Id-f)$.
  2. En déduire que : $\forall x\in\mathbb{R}^n,\; x=(f-\Id)^2(x)+\left(f\circ(2\Id-f)\right)(x)$.
  3. Utiliser ce dernier résultat pour établir que $\mathbb{R}^n = \ker(f)\oplus \Im(f)$.
2. Dans cette question $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que : $$f\circ(f-\Id)\circ(f-4\Id)=0$$
  1. Déterminer un polynôme $P$ du premier degré vérifiant : $$\frac{1}{4}(X-1)(X-4)+ XP(X)=1$$
  2. En déduire que : $\mathbb{R}^n = \ker(f)\oplus \Im(f)$.
3. Dans cette question $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ et $P$ est un polynôme annulateur de $f$, dont le degré est égal à $p$ (avec $p\geqslant2$), et tel que $P(0)=0$ et $P'(0)\neq 0$.
  1. Montrer qu'il existe $p$ réels $a_1,\dots,a_p$ avec $a_1\neq0$, tels que $P=a_1X+\cdots+a_pX^p$.
  2. En déduire que $\ker(f)\cap \Im(f)=\{0\}$, puis établir que $\mathbb{R}^n = \ker(f)\oplus \Im(f)$.
  3. En quoi cette question est-elle une généralisation des deux questions précédentes ?
👍 On considère $a_0,...,a_n$ des réels tels que $a=a_0< ...< a_n=b$. On note $E_k$ l'ensemble des fonctions de classe $C^{k-1}$ sur $[a,b]$ qui coïncident avec un polynôme de dégré inférieur ou égal à $k$ sur $[a_{i-1},a_i]$ pour tout $i\in\zint{1,n}$.
1. On s'intéresse à $E_1$. Montrer que l'application $F$ définie sur $E_1$ par $F(f)=(f(a_0),...,f(a_n))$ est un isomorphisme
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  . En déduire la dimension de $E_1$.
2. Pour $k\geq 2$, on note $\Phi_k$ l'application définie sur $E_k$ par $\Phi_k(f)=f'$. Montrer que $\Phi_k$ est une application linéaire surjective de $E_k$ dans $E_{k-1}$ et déterminer son noyau.
3. En déduire la dimension de $E_k$, pour $k\geq 2$.
👍 Soit $E=\R_n[X]$ et $F_r$ l'ensemble des éléments de $E$ tels que $P(0)=P(1)=...=P(r)$ où $r\in\zint{1,n}$.
1. Montrer que $F_r$ est un s.e.v. de $E$.
2. Si $r=1$ et $n=2$, déterminer une base $F_1$.
3. Si $r=n$, déterminer $F_n$ et donner sa dimension.
4. Si $r< n$, Montrer que $P\in F$ ssi il existe $\alpha\in\R$ et $Q\in\R_{n-r-1}[X]$ tels que $$P(X)=\alpha+X(X-1)...(X-r)Q(X)$$ En déduire une base de $F_r$ et sa dimension.
👍 Soit $E$ un ev de dimension $n$ , $u$ et $v$ des endomorphismes de $E$ .
1. Montrer que
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  : $$\dim (\Im(v))=\dim (\Im(v)\cap \ker(u))+\dim (\Im(u\circ v))$$
2. En déduire que
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  : $$\dim (\ker(u))\leq \dim (\ker(u\circ v))\leq \dim (\ker(u))+\dim (\ker(v)$$
3. Montrer que : $|\rg(u)-\rg(v)| \leq \rg(u+v)\leq \rg(u)+\rg(v)$ .
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4. On suppose de plus que $u$ et $v$ commutent. Montrer que: $$\rg(u+v)\leq \rg(u)+\rg(v)-\rg(u\circ v)$$
👍 Soient $f$ et $g$ deux projecteurs de $E$, un $\K$-ev.
1. Montrer que $\Im(f)=\Im(g)$ ssi $f\circ g=g$ et $g\circ f=f$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $f$ et $g$ pour que $\ker(f)=\ker(g)$.
3. On suppose que $f\circ g=g\circ f$. Montrer que: $$ E=\Im(f)\cap \Im(g)\oplus \Im(f)\cap \ker(g) \oplus \ker(f)\cap \Im(g) \oplus \ker(f)\cap \ker(g)$$ Que peut-on dire de $f\circ g$?
4. Déterminer $\ker(f\circ g)$ et $\Im(f\circ g)$.
👍 On suppose que $n\geq 2$ et on note $\Id$ l'identité de $\R^n$. Soit $f$ un endomorphisme de $\R^n$ tel que:
- la famille $(\Id,f,f^2)$ est une famille libre de ${\cal L}(\R^n)$;
- $f^3=f^2-2f-4\Id$.
1. Montrer que $f$ est un automorphisme.
2. 1. Montrer que $X^3-X^2+2X+4$ est divisible par $X+1$ et déterminer le quotient.
  2. En déduire que $\Im(f+\Id)\subset \ker(f^2-2f+4\Id)$.
3. Montrer que les sous-espaces $\ker(f+Id)$ et $\ker(f^2-2f+4\Id)$ sont en somme directe. En déduire que $\ker(f+\Id)$ et $\ker(f^2-2f+4\Id)$ sont supplémentaires dans $\R^n$.
4. Montrer que $\Im(f+\Id)= \ker(f^2-2f+4\Id)$.
5. Montrer que si $e_1$ est un vecteur non nul de $\ker(f^2-2f+4\Id)$, alors $\big(e_1,f(e_1)\big)$ est une famille libre de $\ker(f^2-2f+4\Id)$.
6. Dans cette question, on suppose $n=3$. Déterminer les dimensions de $\ker(f+\Id)$ et $\ker(f^2-2f+4\Id)$.
- 😨 $E$ est un $\K$-ev de de dimension finie.
Si $f$ et $g$ sont deux endomorphismes de $E$, on note $[f,g]=f\circ g-g\circ f$.
1. Montrer que si $f$, $g$ et $h$ sont des endomorphismes de $E$: $$[[f,g],h]+[[g,h],f]+[[h,f],g]=0$$
2. Si $f$ et $g$ sont deux endomorphismes de $E$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $[f,g]=[g,f]$.
3. On suppose, dans cette question, que $p$ est un projecteur de $E$ et $f$ un endomorphisme de $E$, tels que: $$f=[p,f]$$
  1. Montrer que $p\circ f\circ p=0$, puis $f\circ p=0$.
  2. En conclure que $f^2=0$.
4. On suppose dans cette question que $f$ est un endomorphisme de $E$ tel que $f^2=0$. Soit $p$ un projecteur sur $\Im(f)$, on pose $g=[p,f]$.
  1. Que vaut $\Im(p)$? En déduire que pour tout $x\in\Im(p)$, $f(x)=g(x)$.
  2. Soit $x\in\ker( p )$. Montrer aussi que $f(x)=g(x)$. En déduire que pour tout $x\in E$, $f(x)=g(x)$.
5. Quel résultat ces deux dernières questions permettent-elles d'énoncer?
6. On fixe $g$ un endomorphisme de $E$ tel que $g^r=0$ où $r\in\N^*$.
  On définit $\Phi_g$ sur ${\cal L}(E)$, l'espace vectoriel des endomorphismes de $E$, par: $$\Phi_g(f)=[f,g]$$
  1. Montrer que $\Phi_g$ est un endomorphisme de ${\cal L}(E)$.
  2. Démontrer que si $n\geq 1$: $\forall f\in{\cal L}(E)$, $(\Phi_g)^n(f)=\dsum_{k=0}^n(-1)^k \displaystyle\binom nk g^k\circ f\circ g^{n-k}$.
  3. En déduire qu'il existe un entier $N$ tel que $(\Phi_g)^N$ soit l'application nulle.
👍 Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$.
1. Montrer que si $u\circ v$ est un automorphisme alors $v\circ u$ aussi.
2. Montrer que si $x\in\ker(v\circ u-\Id)$ alors $u(x)\in\ker(u\circ v-\Id)$.
3. On suppose que $u\circ v-\Id$ est un automorphisme.
  1. Déduire de la question 2 que $v\circ u-\Id$ est un automorphisme. \item Montrer que: $(v\circ u-\Id)^{-1}=v\circ (u\circ v-\Id)^{-1}\circ u-\Id$.
  2. Déduire des questions précédentes que, pour tout $\lambda\in\K$, si $u\circ v-\lambda\Id$ est un automorphisme alors $v\circ u-\lambda\Id$ aussi.