Frais du 15 Décembre 2021

1. 👍 On considère $n$ et $r$ deux entiers non nuls, $u$ un endomorphisme de $E$ un $\K$-ev de dimension $n$ tel que $u^r=0_{\L(E)}$.
   
   Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure stricte.
   
   On note $p=\rg(u)$.

   1. Montrer que: $p\leq n-1$.
   2. On suppose que $p\geq 1$.
      1. Montrer qu'il existe une base de $E$, ${\cal C}=(e'_1,...,e'_p,e'_{p+1},...,e'_n) $ telle que $(e'_{1},...,e'_p)$ soit une base de $\Im(u)$.
      2. Montrer que la dernière ligne de la matrice de $u$ dans cette base est nulle.
      3. Justifier que l'on peut définir $v$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $\Vect(e'_1,...,e'_{n-1})$. Montrer que $v^r$ est l'endomorphisme nul.
      4. En supposant qu'il existe une base de $\Vect(e'_1,...,e'_{n-1})$ dans laquelle la matrice de $v$ est triangulaire supérieure à éléments diagonaux tous nuls, en déduire qu'il existe une base de $E$ dans la quelle la matrice de $u$ est aussi triangulaire supérieure à éléments diagonaux tous nuls.
   3. En raisonnant par récurrence sur $n\in\N^*$, montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice triangulaire supérieure à éléments diagonaux tous nuls.
   4. 😨 Montrer que, réciproquement, s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure stricte, alors il existe $r$ tel que $u^r=0_{\L(E)}$.