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$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
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👍 Eléments propres de: $$A=\begin{pmatrix}5 & 6 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{pmatrix}\text{ ou }B=\begin{pmatrix} 2& -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{pmatrix}\text{ ou }C=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2\end{pmatrix}.$$💁♂️👨🏫
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👍 Soit $A$ une matrice de trace non nulle. On définit l'application $\Phi$ de $\M_n(\K)$ dans $\M_n(\K)$ qui a $M$ associe $\tr(A)M-\tr(M)A$. Déterminer $\ker(\Phi)$ et $\Im(\Phi)$, puis les éléments propres de $\Phi$.💁♂️💁♂️👨🏫
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👍 $a\in\K$, $b\in\K^*$. Déterminer les valeurs propres et les sev propres de $B=a\I_n+bA$ en fonction de ceux de $A$.👨🏫
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👍 On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} a+b & b & 2b \\ b & a+b & -2b \\ 2b & 2b & a-2b \end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont deux réels non nuls. Valeurs propres et sous espaces vectoriels propres de $A$.
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👍 $E$ est un ev de dimension finie $n\geq 2$ et $u\in\L(E)$. Montrer que si $x$ et $y$ sont des vecteurs propres de $u$ pour des valeurs propres distinctes, alors $x+y$ n'est pas un vecteur propre de $u$. En déduire que si tout vecteur non nul de $E$ est un vecteur propre alors $u$ est une homothétie.👨🏫
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👍 Quelles sont les matrices ou endomorphismes ayant une seule valeur propre qui sont diagonalisables?👨🏫
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👍 Si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes qui commutent, montrer que les sev propres de l'un sont stables par l'autre. Que peut-on en déduire pour $x$ si $E_{\lambda}(u)=\Vect(x)$? 😨 Montrer que deux endomorphismes d'un $\C$-ev qui commutent ont au moins un vecteur propre commun.👨🏫
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👍 Soit $\varphi$ une forme linéaire non nulle sur $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 2$, $e$ un vecteur non nul de $E$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par: $\forall x\in E$, $f(x)=x+\varphi(x)e$. Montrer que $f$ est diagonalisable ssi $\varphi(e)\neq 0$.👨🏫
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👍 Soit $u\in\L(E)$ telle que $u^3=u$. Montrer que $u$ est diagonalisable💁♂️👨🏫.
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👍 Soit $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 4\end{pmatrix}$. Déterminer le sous espace vectoriel de $\M_3(\R)$ des matrices qui commutent avec $A$ ainsi qu'une base de ce sous espace vectoriel💁♂️👨🏫.
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👍 Montrer que deux matrices diagonalisables sont semblables ssi elles ont les mêmes valeurs propres et pour chaque valeur propre les deux sous espaces vectoriels propres associés ont la même dimension💁♂️📚📚👨🏫.
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👍 Soit $A\in\M_n(\K)$. Montrer qu'il existe un polynôme annulateur dont les racines sont exactement les valeurs propres de $A$💁♂️. Si $A$ est diagonalisable et $\Sp(A)=\{\lambda_1,...,\lambda_p\}$, quel est le polynôme unitaire de degré minimal annulateur de $A$💁♂️👨🏫?
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👍 Déterminer quels sont les réels $x$ tels que $A=\begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ soit diagonalisable. 😨 Lorsqu'elle ne l'est pas montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $💁♂️👨🏫.
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👍 Projecteurs spectraux. On suppose $u$ diagonalisable. Pour tout $\lambda\in\text{Sp}(u)$, on note $p_{\lambda}$ le projecteur sur $E_{\lambda}(u)$ parallèlement à la somme des autres sous espaces vectoriels propres. Montrer, en utilisant par exemple une base de vecteurs propres, que: $$\Id_{E}=\dsum_{\lambda\in\Sp(u)}p_{\lambda};\quad u=\dsum_{\lambda\in\Sp(u)}\lambda p_{\lambda};\text{ si }\lambda\neq \mu,\,p_{\lambda}\circ p_{\mu}=0_{\L(E)};$$ 😨 $$\forall\lambda\in\Sp(u), p_{\lambda}\text{ est un polynôme en }u.$$💁♂️👨🏫
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👍 Montrer que si $u$ est diagonalisable alors pour tout $\lambda\in\K$, $\ker[(u-\lambda\Id)^2]=\ker(u-\lambda\Id)$💁♂️. En déduire que si $u^3-2u^2+u=0$, $u$ est diagonalisable ssi $u$ est un projecteur (on montrera tout d'abord que $E=\ker(u)\oplus\ker[(u-\Id)^2]$).👨🏫
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👍 Soit $A$ une matrice, appartenant à $\M_n(\R)$, diagonalisable dont les valeurs propres sont toutes strictement positives. Montrer qu'il existe une unique matrice $B\in\M_n(\R)$ dont les valeurs propres sont positives telle que $B^2=A$. En déduire que si $A$ est symétrique réelle à valeurs propres strictement positives, il existe une unique matrice à valeurs propres positives telle que $A=B^2$ et que $B$ est symétrique.👨🏫
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- Soit $A\in\M_n(\K)$ de la forme
$\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C
\end{pmatrix}$ où $B$ et $C$ sont deux matrices carrées d'ordre $p$ et $q$ avec $n=p+q$. Montrer que $\rg(A)=\rg(B)+\rg(C)$. En déduire que $\Sp(A)=\Sp(B)\cup\Sp(C)$ et que $A$ est diagonalisable ssi $B$ et $C$ le sont. Généraliser au cas où $A=\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & \ddots & \quad (0) & \\ & (0) \quad & \ddots & \\ & & & A_p
\end{pmatrix}$ où $A_1,...,A_p$ sont des matrices carrées.
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👍 Soit $a$ et $b$ deux éléments non nuls de $\K$. On définit la matrice carrée d'ordre $n\geq 3$, $A=(a_{i,j})$ avec $a_{i,j}=a$ si $j=1$ et $i\geq 2$, $a_{i,j}=b$ si $i=1$ et $j\geq 2$, les autres coefficients sont nuls. Montrer que $\text{Sp}(A)$ est formé de $0$ et des "racines carrées" de $(n-1)ab$.👨🏫