On suppose que la loi d'un couple $(X,Y)$ de variables discrètes à valeurs dans $\N\times\N^*$ est donnée par:
$$\Pb([X=i]\cap[Y=j])=\begin{cases}a\disp\cnk{j-1}{i}\left(\dfrac 12\right)^{i+j}&\text{ si }0\leq i\leq j-1\\
0 &\text{ sinon.}
\end{cases}
$$ où $a$ est un réel à déterminer.
- Montrer que pour tout $j\in\N^*
$, $\dsum_{i=0}^{j-1}\disp\cnk{j-1}{i}\left(\dfrac 12\right)^{i+j}=\dfrac 12\left(\dfrac 34\right)^{j-1}$. En déduire que $a=\dfrac 12$.
- Reconnaître la loi de $Y$. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
- Montrer que, pour tout $j\in\N^*$, la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y=j]$ est la loi $\B\left(j-1,\dfrac 13\right)$.
- En utilisant la question précédente, montrer que $\E(X)$ et $\E(XY)$ existent et valent respectivement, $1$ et $8$.
- En déduire la covariance du couple $(X,Y)$.