Frais du 7 Octobre 2021

1. On considère un espace probabilisé $(\Omega,\A,\Pb)$.

   Pour tout événement $A$ on note ${\bf 1}_A$ la variable aléatoire indicatrice de l'événement $A$.

   On rappelle que pour tout $\omega\in\Omega$, ${\bf 1}_A(\omega)=1 $ si $\omega\in A$ et ${\bf 1}_A(\omega)=0$ sinon.

   Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $A\Delta B$ l'événement $(A\cup B)\backslash(A\cap B)$.

   1. Justifier que ${\bf 1}_A$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\Pb(A)$. Que vaut $\E({\bf 1}_A)$?
   2. Soit $A$ et $B$ deux événements.
      1. Établir que: $${\bf 1}_{A\cap B}={\bf 1}_A\times {\bf 1}_B\text{ et }{\bf 1}_{A\cup B}={\bf 1}_A+{\bf 1}_B-{\bf 1}_A\times {\bf 1}_B$$
      2. En déduire que si $B\subset A$, ${\bf 1}_{A\backslash B}={\bf 1}_A-{\bf 1}_B$.
      3. Montrer que ${\bf 1}_{A\Delta B}=({\bf 1}_{A}-{\bf 1}_{B})^2$ puis que ${\bf 1}_{A\Delta B}=\left|{\bf 1}_{A}-{\bf 1}_{B}\right|$.
   3. Soit $A$,$B$ et $C$ des événements, établir l'inégalité triangulaire: $$\Pb(A\Delta C)\leq\Pb(A\Delta B)+\Pb(B\Delta C) $$