TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables, extrema

👍 Montrer que les fonctions suivantes sont de classe $C^2$ sur ${\cal O}$ et déterminer leurs extrema locaux:
👍 $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$. On considère un $n$-échantillon i.i.d. $(X_1, X_2,\dots,X_n)$ d'une loi d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$.
On désigne par $x_1,\dots,x_n$, un $n$-échantillon de réalisations des variables aléatoires $X_1,\dots,X_n$, respectivement.
Les réels $x_1,\dots,x_n$ sont fixés, non tous égaux.
On suppose que la loi étudiée est la loi $\Nor(m,\sigma^2)$ et on note $f_{m,\sigma}$ sa densité de probabilité usuelle.

Soit $L$ la fonction (appelée fonction de vraisemblance) définie sur $\R\times\R^*_+$ à valeurs dans $\R^*_+$ qui, à tout couple $(m, \sigma)$ associe: $$L(m,\sigma)=\prod_{i=1}^nf_{m,\sigma}(x_i)$$ On pose $F(m,\sigma) = \ln\bigl(L(m,\sigma)\bigr)$, $\overline x=\dfrac 1n\dsum_{k=1}^n x_k$,$\overline {x^2}=\dfrac 1n\dsum_{k=1}^n x^2_k$.
1. Montrer que la recherche du maximum de $L$ sur $\R\times\R^*_+$ est équivalente à la recherche du maximum de $F$ sur ce même ensemble.
2. 1. Établir l'existence sur $\R\times\R^*_+$ des dérivées partielles d'ordre $1$ et $2$ de la fonction $F$. Les calculer.
  2. Montrer qu'il existe un unique point critique $(m^*,\sigma^*)$ avec $$\begin{cases} m^*=\overline x&(1)\\ (\sigma^*)^2= \overline{x^2}-\overline x^2 & (2) \end{cases}$$
3. Écrire la hessienne $\nabla^2(F)$ de $F$ au point $(m^*, \sigma^*)$. En déduire qu'au point $(m^*, \sigma^*)$, la fonction $L$ admet un maximum local.
4. 1. Montrer que pour tout $(m,\sigma)\in\R\times ]0,+\infty[$, $$F(m^*,\sigma^*)-F(m,\sigma)=n\ln\left(\frac{\sigma}{\sigma^*}\right)+\frac n2\left(\left(\frac{\sigma^*}{\sigma}\right)^2-1\right)+ \frac n{2\sigma^2}(m-m^*)^2$$
  2. Etudier la fonction $\varphi$ définie sur $]0,+\infty[$ par, $\forall t>0,\, \varphi(t)=\ln(t)+\frac 1{2t^2}-\frac 12$.
  3. En déduire que $F$ possède en $(m^*,\sigma^*)$ un maximum global sur $\R\times\R^*_+$.
👍 - - On désigne par $n$ et $r$ deux entiers naturels vérifiant $n\geqslant 2$ et $ r\geqslant 3$.
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à $r$ ré sultats différents $R_{1}$, $R_{2}$, ..., $R_{r}$ de probabilités respectives $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{r}$. On admet que, pour tout $i$ de $\{1,...,r\}$, $0 < x_{i} < 1$.

On effectue $n$ épreuves indépendantes du type de celle dé crite ci-dessus.

Pour tout $i$ de $\{1,...,r\}$, on note $X_{i}$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le résultat numéro $i$ n'est pas obtenu à l'issue de ces $n$ épreuves et qui vaut $0$ sinon. \ On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n'ont pas été obtenus à l'issue des $n$ épreuves.
1. 1. Exprimer la variable $X$ en fonction de $X_{1},X_{2},...,X_{r}$.
  2. Donner la loi de $X_{i}$ pour tout $i$ de $\{1,2,...,r\}$.
  3. En déduire que l'espérance de $X$ est $\disp \E(X)=\sum_{i=1}^{r}(1-x_{i})^{n}$.
  La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réels $x_{i}$ en lesquelles $\E(X)$ admet un minimum local.
2. Donner la valeur de $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r}$.
  On note $f$ la fonction de $r$ variables $ x_{1},...,x_{r}$ définie sur l'ouvert $\mathcal{U}=(]0,1[)^{r}$ de $\R ^{r}$ par $\disp f(x_1,...,x_r)=\sum_{i=1}^{r}(1-x_{i})^{n}$.
  
  On s'intéresse aux extremums de $f$ sous la contrainte $x_1+...+x_r=1$.
3. 1. Montrer que $f$ est de classe $C^{2}$ sur $(]0,1[)^{r}$.
  2. Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 de $f$.
  3. Montrer que le seul point de $\R^{r}$ où la condition nécessaire d'existence d'un extremum sous la contrainte est vérifiée est le point $a=(\frac{ 1}{r},\frac{1}{r},\cdots ,\frac{1}{r})$.
4. Pour tout $u=(u_1,...,u_r)\in\mathcal{U}$, déterminer la matrice hessienne de $f$ au point $u$. Quelles sont les valeurs propres de cette matrice?
5. Soit $b\in\mathcal{U}$ vérifiant la contrainte. On pose $b=a+h$. En utilisant une fonction directionnelle, montrer que: $$f(b)=f(a)+\dint_0^1(1-t)\ps{\nabla^2f(a+th)(h),h}dt$$.
  En déduire que $f$ possède un minimum global au point $a$ sous la contrainte $x_1+...+x_r=1$.
6. Donner la valeur minimale de $\E(X)$ et préciser pour quelle valeur de $(x_1,...,x_r)$ ce minimum est obtenu.
👍 - 2018 - Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On note $I_n$ la matrice identité de $M_n(\R)$ et $J_n$ la matrice de $\M_n(\R)$ dont tous les éléments valent $1$.
1. 1. Déterminer le rang de $J_n$. En déduire que $0$ est valeur propre de $J_n$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
  2. Vérifier que le vecteur $V_n$ élément de $\M_{n,1}(\R)$, dont toutes les composantes sont égales à $1$, est vecteur propre de $J_n$.
  3. A l'aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de $J_n$.
Dans toute la suite, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\R^n$ par : $$ \forall x = (x_1,x_2,\dots,x_n) \in \R^n,\quad f_n(x) = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right). $$
1. Montrer que $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R^n$.
2. 1. Montrer que, pour tout $i\in \zint{1,n}$, on a : $\partial_i(f_n)(x) = \left(1-2x_i \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\right)\exp\left(-\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\right).$
  2. En déduire que $f_n$ possède deux points critiques $a = \dfrac{1}{\sqrt{2n}}(1,1,\dots,1)$ et $b = -a$.
3. 1. Déterminer les dérivées partielles d'ordre $2$ de $f_n$.
  2. Vérifier que la hessienne de $f_n$ en $a$ est $H_n(a) = \dfrac{-2}{\sqrt{2ne}} (nI_n + J_n)$.
  3. A l'aide de la première question, donner les valeurs propres de $H_n(a)$.
  4. En déduire que $f_n$ possède un extremum local en $a$.
  5. Sans refaire tous les calculs, donner une conclusion concernant le point critique $b$.
4. 1. Etudier la fonction $h$ qui, à tout $t$ de $\R_+$, associe $h(t) = te^{-t^2}$.
  2. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à deux vecteurs bien choisis de $\R^n$, muni de son produit scalaire canonique, montrer que : $$\forall (x_1,x_2,\dots,x_n) \in \R^n, \, \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 \leq n \sum_{k=1}^n x_k^2.$$
  3. Déduire des deux questions précédentes que $f_n$ admet en $a$ et en $b$ des extrema globaux.
5. Question d'informatique.
  1. Ecrire des commandes $\tt{Scilab}$ permettant de calculer et d'afficher $H_n(a)$ pour une valeur de $n$ entrée par l'utilisateur.
  2. Dans le cas $n=2$, la nappe suivante est-elle acceptable en tant que représentation graphique de la fonction $f_2$? Justifier.
👍 - 2019 - On pose $$ V=\left\{ \left( x_{1},...,x_{n}\right) \in \left[ 0,+\infty \right[ ^{n}\right\} \text{ et }U=\left\{ \left( x_{1},...,x_{n}\right) \in \left] 0,+\infty \right[ ^{n}\right\} , $$ et $\varphi $ l'application de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\R$ définie par $$ \varphi :\left( x_{1},...,x_{n}\right) \longmapsto \disp\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}. $$
On admet que $V$ est une partie fermée de $\R^{n}$ et que $U$ est une partie ouverte de $\R^{n}.$
1. Montrer que $$ W=\left\{ \left( x_{1},...,x_{n}\right) \in V\text{ }/\text{ }% x_{1}+...+x_{n}=1\right\} $$ est une partie fermée bornée de $\R^{n}.$
2. En déduire que $\varphi $ admet un maximum global noté $M$ sur $% W. $
3. Calculer $\varphi \left( x_{1},...,x_{n}\right) $ lorsque $\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in V\backslash U.$
4. En déduire que $M$ est le maximum de $\varphi $ sur $U$ sous la contrainte $x_{1}+...+x_{n}=1.$
5. Déterminer alors la valeur du maximum $M$ et préciser en quel vecteur de $U$ il est atteint.
👍 Représentation avec Scilab du graphe d'une fonction de deux variables définie sur une partie de $\R^2$
1. 1. Essayer le script suivant:
```
function z=pringle(x,y)
    if (x^2+2*y^2-1<=0) 
        z=x*y
        else 
        z=-%inf
     end
    
    
endfunction

x=linspace(-1,1,500)
y=x

fplot3d(x,y,pringle) //ou:

//z=feval(x,y,pringle)
//plot3d(x,y,z)

// ne sert que pour la mise en forme de la surface
surf=gce() ;surf.color_flag =1;surf.color_mode=-1
fig=gcf() ;
fig.color_map=jetcolormap(1024)
```
  2. Déterminer les extremum absolus de $f(x,y)=xy$ sur ${\cal K}=\{(x,y)\in\R^2/ x^2+2y^2\leq 1\}$ et confrontez vos résultats avec la figure obtenue (on pourra utiliser que $x^2+2y^2=1$ ssi il existe $t\in[0,2\pi]$ tel que $x=\cos(t)$ et $y=\dfrac{\sin(t)}{\sqrt 2}$).
2. 1. 1. Déterminer les points critiques de $f$ sous la contrainte $({\cal C})$. Représenter $f$ pour les points qui vérifient la contrainte au voisinage de chaque point critique en adaptant le script de la question précédente. (pour la conditions $x^2+4y^2=8$ on testera $|x^2+4y^2-8|<\varepsilon$ avec $\varepsilon=0.1$ par exemple!).
    2. En déduire la nature des points critiques. Vérifier théoriquement votre conclusion.
    3. Mêmes questions pour:
      
      $f:(x,y)\mapsto x\exp(y)+y\exp(x)$ et la contrainte $({\cal C})$: $xy=1$.
      $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2-4x-2y+1$ et la contrainte $({\cal C})$: $x^2-4y^2=0$.