Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
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  • 👍 à faire absolument, pour tous.
  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
  • 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 5 - Révisions 3 de probabilité et compléments

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Nb d'énoncés:

  1. 👍 Loi de $Y=X^2$ si $X\suit\mathcal U([-2,2])$. 😨 Idem si $X\suit\mathcal U([-1,3])$
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    .
  2. 👍 $X$ suit la loi $\Nor(0,1)$. Loi de $Y=|X-1|$ puis de 😨 $Z=\min(|X|,|X-1|)$ (on déterminera une d.d.p.)
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    .
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  3. 👍 Déterminer les moments et les moments centrés (sous la forme d'une somme) d'ordre $n$ de la loi $\mathcal{E}(\lambda)$
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    . Équivalent de $\E[(X-\frac 1{\lambda})^n]$ quand $n\to +\infty$.
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  4. 👍 Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac b{x^2}$ si $|x|\geq a$ et $0$ sinon. Déterminer les couples $(a,b)$ tels que $f$ soit une d.d.p. d'une variable aléatoire réelle à densité $X$
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    . Déterminer alors la f.r. de $X$
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    . $X$ admet-elle une espérance?
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  5. 👍 On pose $f(x)=\dfrac{\alpha}{\sqrt{1-|x|}}$ si $|x|< 1$ et $0$ sinon. Pour quelle(s) valeur(s) de $\alpha\in\R$, $f$ est-elle une ddp d'une variable aléatoire réelle
    📚
    💁‍♂️
    ? Dans ce cas, déterminer la fonction de répartition associée et son espérance
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    .
  6. 👍 $X$ suit la loi ${\cal U}([0,n])$ ($n$ entier plus grand que $2$). Loi de $\lfloor X\rfloor+1$ et 😨 $X-\lfloor X\rfloor$
    💁‍♂️
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    . 😨
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    Sont-elles indépendantes
    💁‍♂️
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    ? Mêmes questions si $X$ suit la loi ${\cal E}(\lambda)$.
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  7. 👍 Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables à densité sur le même espace probabilisé, indépendantes et de même loi que $X$
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    . Soit $a\in\R$ fixé tel que $\Pb([X>a])\in ]0,1[$. On note $N$ la variable aléatoire égale au plus petit $k$ tel que $[X_k>a]$ soit réalisé. Loi de $N$
    💁‍♂️
    et de 😨 $X_N$
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    .
  8. 😨 Soit $X$ une variable aléatoire à densité à valeurs positives, de d.d.p. $f$ continue sur $\R^+$, telle que pour tout $n\in\N^*$, si $X_1,...,X_n$ sont indépendantes
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    et suivant la même loi que $X$ alors $Y_n=n\min(X_1,...,X_n)$ suit la même loi que $X$. Montrer que $X$ suit une loi exponentielle
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    .
  9. 👍 Si $X$ suit la loi ${\cal E}(\lambda)$, existence et valeur de son "écart-moyen" i.e. de $\E(|X-\frac 1{\lambda}|)$
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    . Montrer que pour tout $\lambda$, $\E(|X-\frac 1{\lambda}|)<\sigma(X)$. Était-ce prévisible? Calculer l'écart moyen de $X$ si $X$ suit une loi normale
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    puis si 😨 $X\hookrightarrow \gamma(\nu)$. En déduire que pour tout $\nu>0$, $\Gamma(\nu)\geq 2\nu^{\nu-\frac 12}\e^{-\nu}$
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    .
  10. 👍 - Inégalité de Paley-Zigmund - Soit $X$ une variable aléatoire réelle à valeurs positives sur un espace probabilisé admettant une variance et d'espérance non nulle. Montrer que pour tout réel positif $a$, $X-a \leq X \times \mathbf{1}_{[X \geq a]}$.
    En déduire en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que pour tout $\lambda\in]0,1[$
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    : $$\Pb([X\geq \lambda\E(X)])\geq (1-\lambda)^2\dfrac{(\E(X))^2}{\E(X^2)}$$
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  11. 👍 Soit $F$ la fonction de répartition d'une variable à densité $X$. On pose pour tout $x\in\R$, $G(x)=\dint_{x-1}^xF(t)dt$. Montrer que $G$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
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