TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation

- 👍 On considère des nombres réels $a$ et $b$ appartenant à l'intervalle $]0,1[$ et tels que $a+b=1$. Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est la matrice $$M=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ b&a&0\\ 0&b&a \end{pmatrix}$$
1. 1. Déterminer à quelle condition un vecteur $v=(x,y,z)$ appartient au noyau de $f-Id$ ; expliciter une base de ce sous-espace vectoriel.
  2. Montrer que $(e_2,e_3)$ est une base de l'image de $f-\Id$.
  3. Etablir que $\R^3=\ker (f-\Id)\oplus \Im (f-\Id)$.
2. Soit $p$ le projecteur sur le sous-espace vectoriel $\ker(f-\Id)$ de direction $\Im (f-\Id)$ et $v_1=e_1+e_2+e_3$. Déterminer $p(v_1)$, puis $p(e_3),p(e_2)$ et $p(e_1)$. Expliciter la matrice $P$ associée à $p$ dans la base $\mathcal{\B}$.
3. On considère la base $\mathcal{\B}'=(v_1,e_2, e_3)$ de $\R^3$.
  1. Déterminer la matrice $M'$ associée à $f$ dans la base $\mathcal{\B'}$.
  2. Pour tout nombre entier naturel non nul $k$, calculer par récurrence $M'^k$.
  3. Déterminer la matrice de passage $C$ de la base $\mathcal{\B}$ à la base $\mathcal{\B'}$. Calculer son inverse.
  4. Déduire de ces résultats l'expression de la matrice $M^k$, ainsi que sa limite lorsque $k$ tend vers $+\infty$ (c'est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les limites des coefficients de $M^k$). Comparer cette limite à la matrice $P$ obtenue dans la question 2.
👍 Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$.
1. Montrer que $(I_n,A,...,A^{n^2})$ est une famille liée de $\M_n(\K)$. En déduire que $A$ possède un polynôme annulateur unitaire.
2. Montrer que $A$ possède un unique polynôme annulateur unitaire de degré minimal.
3. Soit $P$ le polynôme unitaire annulateur de $A$ de degré $p$ minimal et $B$ une matrice carrée d'ordre $n$ telle que $AB-BA=A$.
  1. Montrer que pour tout $k\in\N$, $A^kB-BA^k=kA^k$. Que peut-on en déduire pour $\tr(A^k)$?
  2. En déduire que $P(A)B-BP(A)=AP'(A)$.
  3. Que peut-on dire de $\frac 1pXP'(X)$? En déduire que $P(X)=X^p$.
- 👍 Dans cet exercice, $E= {\cal M}_n(\R)$ est l'espace vectoriel des matrices carrées de taille $n\geq 2$ à coefficients réels, et $(E_{i,j})_{1\le i,j \le n}$ désigne la base canonique de $E$.
On note $\tr(M)$ la trace d'une matrice carrée $M$.
1. Dans cette question on suppose que $n=2$ et $\Phi$ est l'endomorphisme de $E$ défini par : $$\Phi(M)= \tr(M)\I_2-M$$
2. Montrer que $\Phi$ vérifie la propriété : $$\forall\,(A,B)\in E^2, \tr(AB)=\tr\big(\Phi(A)\Phi(B)\big)$$
3. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme.
  On revient maintenant au cas général $n\geq 2$.
4. 1. Calculer pour tout $A\in E$ et pour tout $(i,j)\in \zint{1,n}^2$, $AE_{i,j}$ puis la trace $\tr(AE_{i,j})$.
  2. Soit $A\in E$ telle que pour tout $M\in E$, $\tr(AM)=0$. Montrer que $A=0$.
  Dans la suite de cet exercice, $\Phi$ désigne une application (a priori non linéaire) de $E$ dans lui-même, telle que l'on ait la propriété suivante:
  
  " pour tout couple $(A,B)\in E^2$, les matrices $AB$ et $\Phi(A)\Phi(B)$ ont la même trace. "$\quad$ (*)
5. Soit $P$ une matrice inversible. Montrer que les deux applications définies par : $$\Phi_1(M)=PMP^{-1} \text{ et }\Phi_2(M)= P{}\,^tMP^{-1}$$ vérifient la propriété $(*)$.
6. 1. Montrer que $\tr\big(\Phi(A)\Phi(B)\big)= \tr\big(\Phi(B) \Phi(A)\big)$ pour tout couple $(A,B)\in E^2$.
  2. Calculer $\tr\big(\Phi(E_{i,j})\Phi(E_{k,\ell})\big)$ pour tout $(i,j,k,\ell)\in \zint{1,n}^4$.
  3. En déduire que la famille $\big(\Phi(E_{i,j})\big)_{1\le i,j \le n}$ est une base de $E$.
👍 On désigne par $E$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n-1$ et on considère $Q$ le polynôme élément de $E$ de degré $n$ défini par: $$Q(X)=X^n+\dsum_{k=0}^{n-1}a_kX^k\quad .$$ A tout $P\in E$, on associe $u(P)$, le reste de la division euclidienne de $XP(X)$ par $Q(X)$.
1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$. Que vaut $u(P)$ si $d^0(P)< n-1$?
2. 1. Déterminer, pour tout $k\in\zint{0,n-2}$, $u(X^k)$, puis $u(X^{n-1})$ en fonction de $a_0,...,a_{n-1}$.
  2. En déduire la matrice de $u$ dans la base canonique, notée $\B$, de $E$. On note $A$ cette matrice.
3. On définit les polynômes $H_k$ pour $k\in\zint{1,n}$ par: $$\forall k\in\zint{1,n-1},\quad H_k(X)=X^{n-k}+\dsum_{i=k}^{n-1}a_{i}X^{i-k}\text{ et }H_n(X)=1$$
  1. Montrer que ${\cal H}=(H_1,...,H_n)$ est une base de $E$.
  2. Expliciter $S$, la matrice de passage de $\B$ à ${\cal H}$, et vérifier qu'elle est symétrique.
  3. Soit $k\in\zint{2,n}$. Etablir la relation: $H_{k-1}(X)=XH_{k}(X)+a_{k-1}$. En déduire $u(H_k)$ en fonction de $H_{k-1}$, $a_{k-1}$ et $H_n$.
  4. Montrer que $u(H_1)=-a_0$, puis en déduire que $M_{\cal H}(u)=\,^tA$.
4. Que peut-on en déduire pour $A$ et $\,^tA$?
ORAL - 👍 Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base $\B=(e_1,e_2,e_3)$ est $M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$.
1. Montrer que $f-\Id_{\R^3}$ est un projecteur.
2. Quelles sont les valeurs propres de $f$?
3. Combien existe-t-il de droites vectorielles de $\R^3$ stables par $f$?
4. Combien existe-t-il de plans vectoriels de $\R^3$ stables par $f$?
👍 Soit $E$ un $\K$-ev, $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ qui commutent, $p\in\N^*$ tel que $g^p=0_{\L(E)}$.
1. Montrer que $E_{\lambda}(f)$ est stable par $g$.
2. Montrer qu'il existe $k\in\N$ tel que $g^k(x)\neq 0_E$ et $g^{k+1}(x)= 0_E$.
3. Montrer que $g^k(x)$ est un vecteur propre de $f+g$ et préciser la valeur propre associée.
4. En déduire que $\Sp(f)\subset \Sp(f+g)$.
👍 On définit pour tout polynôme de $\K_{n}[X]$, $ U(P)=XP(X+1)-(X-1)P(X).$
1. Calculer $U(X^{k})$ pour $k\in \{ 0,...n\} $ . Montrer que $U$ est un endomorphisme de $\K_{n}[X].$
2. Quelles sont les valeurs propres de $U$? Est-il diagonalisable?
3. Soit $P_{k}$ un vecteur propre associé à la valeur propre $ k+1,k\geq 1 $ .
  1. Montrer que $0$ est une racine de $P_{k}$,puis que $-1,...,-(k-1)$ sont des racines de $P_{k}.$
  2. En conclure que: $\displaystyle \exists\, a\neq 0/\,P_{k}=a \prod_{i=0}^{k-1}\left( X+i\right)$.
4. En déduire une base de vecteurs propres de $U$ .
- 👍 Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, notée $n$ ($n\in\N^{*}$) et $u$ un vecteur de $E$. On note $\Id$ l'identité de $E$. Si $P(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{p}X^{p}$ est un élément de $\R[X]$, on rappelle qu'on désigne par $P(u)$ l'endomorphisme suivant: $P(u)=a_{0}\Id+a_{1}u+\dots+a_{p}u^{p}$ où $u^{k}$ est la composée $\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{u\circ u\circ\dots\circ u}}$ ($u^{0}=\Id$ par convention). Dans toute la suite, $Q$ est un polynôme qui admet $1$ pour racine simple et tel que $Q(u)=0$. Ainsi, on peut écrire $Q(X)=(X-1)Q_{1}(X)$ avec $Q_{1}(1)\ne0$.
1. Montrer que l'image de $(u-\Id)$ est contenue dans $\ker(Q_{1}(u))$.
2. On note $E_{1}=\ker(u-\Id)$.
  1. Montrer que si $x\in E_{1}$ alors $Q_{1}(u)(x)=Q_{1}(1).x$.
  2. En déduire que $E_{1}\cap\ker(Q_{1}(u))=\{0_{E}\}$.
  3. En déduire à l'aide du théorême du rang que $E=E_{1}\oplus\ker(Q_{1}(u))$.
3. Montrer que $Q_{1}(u)=0$ si, et seulement si, $1$ n'est pas valeur propre de $u$.
4. On suppose dans cette question que $Q(X)=(X-1)(X+2)^{2}$, que $E$ est de dimension $3$ et que $1$ est valeur propre de $u$; on note $E_{1}$ l'espace propre associé à la valeur propre $1$.
  Montrer que si la dimension de $E_{1}$ est supérieure ou égale à $2$, l'endomorphisme $u$ est diagonalisable (on pourra distinguer deux cas, suivant que la dimension de $E_{1}$ est égale à $2$ ou égale à $3$).
👍 Soit $n$ un entier plus grand que $2$, et $A$ la matrice carrée d'ordre $n$, d'élément générique $a_{i,j}$ avec $$ a_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll} i & \text{ si }i=j\\ 1 &\text{ si }i \ne j \end{array}\right.$$
1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Montrer que l'équation $AX= \lambda X$, où $X=\left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\x_n \end{array}\right)$ et $\lambda \in \R$ est équivalente au système: $$ \left\{ \begin{array}{l} s= \lambda x_1\\s= (\lambda-1)x_2\\ \vdots\\s= (\lambda-n+1) x_n\\ \\ \text{ avec }s=x_1+...+x_n.\end{array}\right.$$
3. Montrer que $\displaystyle \lambda \in \Sp(A) \iff \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\lambda-k}=1 \quad (1)$.
4. En déduire que $A$ possèdent $n$ valeurs propres distinctes .
5. Montrer en utilisant l'équation $(1)$ que si $\lambda_1 < ... < \lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$ alors $\lambda_k \in ]k-1,k[$ si $k \in \{1,...,n-1\}$ et $\lambda_n>n$ .
2019 - 👍 On note $\Id$ l'endomorphisme identité de $\R^3$ et on considère l'endomorphisme $f$ de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est : $$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&3&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}$$
1. 1. Déterminer un polynôme annulateur de $A$ qui soit de degré 2.
  2. En déduire les deux valeurs propres possibles $\lambda_1$ et $\lambda_2$ de $A$ (avec $\lambda_1<\lambda_2$).
  3. En Scilab, la commande $\tt{r=rank(M)}$ renvoie dans la variable r le rang de la matrice $M$. On a saisi :
```
A=[1,0,0;-2,3,-2;-1,1,0]
r1=rank(A-eye(3,3))
r2=rank(A-2*eye(3,3))
disp(r1,'r1=')
disp(r2,'r2=')
```
    Scilab a renvoyé :
```
r1 = 
     1.
r2 =
     2.
```
    Que peut-on conjecturer quant aux valeurs propres de $f$ et à la dimension des sous-espaces propres associés?
  4. Donner une base de chacun des noyaux $\ker(f-\lambda_1\Id)$ et $\ker(f-\lambda_2\Id)$.
2. 1. Justifier qu'il existe une base $(u_1,v_1,v_2)$ de $\R^3$, où $(u_1,v_1)$ est une base de $\ker(f-\lambda_1\Id)$ et $(v_2)$ une base de $\ker(f-\lambda_2\Id)$. On choisira ces vecteurs de façon que leurs composantes soient des entiers naturels les plus petits possible, la dernière composante de $u_1$ et la première de $v_1$ étant nulles.
  2. On note $x=(a,b,c)$ un vecteur quelconque de $\R^3$. Déterminer, en fonction de $a,b$ et $c$ les coordonnées de $x$ dans la base $(u_1,v_1,v_2)$.
  Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $n\geq p\geq2$, soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$, et $f$ un endomorphisme diagonalisable de $E$ ayant $p$ valeurs propres, $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p$, deux à deux distinctes.
  
  On se propose de déterminer la décomposition de chaque vecteur $x$ de $E$ sur la somme directe $\displaystyle\bigoplus_{k=1}^p\ker(f-\lambda_k\Id)$, où $\Id$ désigne l'endomorphisme identité de $E$.
3. Soit $\B$ une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est une matrice diagonale $D$.
  1. En notant $I_n$ la matrice identité de $\M_n(\R)$, montrer que : $$(D-\lambda_1I_n)(D-\lambda_2I_n)\ldots(D-\lambda_pI_n)=0_{\M_3(\R)}$$
  2. En déduire un polynôme annulateur de $f$.
4. Pour chaque $k$ de $\zint{1,p}$, on définit le polynôme $\displaystyle L_k=\prod_{\underset{j\neq k}{j=1}}^p\frac{X-\lambda_j}{\lambda_k-\lambda_j}$
  1. En distinguant les cas $i=k$ et $i\neq k$, calculer $L_k(\lambda_i)$.
  2. Montrer que $(L_1,L_2,\ldots,L_p)$ est une base de $\R_{p-1}[X]$.
  3. Établir alors que : $$\forall P\in\R_{p-1}[X],\,P=\sum_{k=1}^pP(\lambda_k)L_k$$
  4. En déduire que $\displaystyle\sum_{i=1}^PL_i=1$.
5. 1. Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $L_k(f)(x)$ appartient à $\ker(f-\lambda_k\Id)$, où $L_k(f)(x)$ désigne l'image du vecteur $x$ de $E$ par l'endomorphisme $L_k(f)$.
  2. En déduire la décomposition cherchée.
6. Vérifier que cette dernière décomposition redonne celle obtenue pour l'endomorphisme $f$ de la question 2, si l'on choisit $n=3$, $E=\R^3$ et $p=2$.
- Soit $n=2p-1,p\geq 2,$ un entier, $\B=(e_{1},...,e_{n})$ la base canonique de $\mathbb{C}^{n}.$ Soit $(a_{1},...,a_{n})$ des complexes non nuls. On considère l'endomorphisme $u$ de $\C^{n}$ de matrice $A$ dans la base canonique $\mathcal{B}$, avec : $$ A=\begin{pmatrix} & & & & a_{n} \\ & (0) & & a_{n-1} & \\ & & {.\,}^{{.\,}^{.}} & & \\ & a_{2} & & (0) & \\ a_{1} & & & & \end{pmatrix} $$
1. Déterminer pour tout $k,1\leq k\leq n,$ le vecteur $u(e_{k}).$
2. Montrer que $e_{p}$ est un vecteur propre de $u.$ Quelle est la valeur propre associée?
3. Soit $k,1\leq k\leq p-1.$ Montrer que le plan vectoriel $P_{k}$ engendré par $(e_{k},e_{n+1-k})$ est stable par $u.$
4. On note $u_{k}$ la restriction de $u$ à $P_{k}.$
  1. Montrer que $u_{k}$ est diagonalisable.
  2. En déduire que $u$ est diagonalisable.
5. La matrice $B=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $ est-elle diagonalisable?