Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
Tout le cours.
Cliquer sur:
  • 💁‍♂️
    pour obtenir une indication.
  • 📚
    pour obtenir un énoncé du cours en rapport avec la question posée.
  • 👨‍🏫
    pour obtenir la solution
Certaines questions sont précédées d'un emoji:
  • 👍 à faire absolument, pour tous.
  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
  • 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Révisions d'analyse de première année - semaine 1

Choisir filtres:

Filtres:

Nb d'énoncés:

  1. 👍 DL en $0$, à l'ordre 3 de $x\mapsto \ln(1+x)$, $x\mapsto\dfrac 1{1-x}$, $x\mapsto \tan(x)$, $x\mapsto \ln(1+\tan(x))$ et à l'ordre 6 de $x\mapsto \cos^2(x)$, $x\mapsto\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}}$
    📚
    📚
    👨‍🏫
    .
  2. 😨 Montrer que pour tout $x_1,...,x_n$ des réels positifs, $$\left(\prod_{k=1}^n(1+x_k)\right)^{\frac 1n}\geq 1+\left(\prod_{k=1}^nx_k\right)^{\frac 1n}$$
    💁‍♂️
    📚
    📚
    👨‍🏫
  3. Définition, dérivabilité, dérivée, variation, convexité de $f:x\mapsto a^x$ et $g:x\mapsto x^a$ où $a$ est un réel strictement positif. Mêmes questions pour $h:x\mapsto x^x$.
    📚
    📚
    👨‍🏫
  4. 😨 Inégalité de Ky-Fan - Soit $n \geq 1$ et $x_1, \ldots ,x_n$ des réels appartenant à l'intervalle $\left[0,\frac 12 \right]$. En considèrant la fonction $f$ définie par, $ \forall x \in \left]0,1\right[, \quad f(x) = \ln \left( \frac{1-x}{x} \right) $, en déduire l'inégalité: $$ \dfrac{\displaystyle \left(\prod_{k=1}^n x_k \right)^{1/n}}{\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k}\leq \dfrac{\displaystyle \left(\prod_{k=1}^n (1-x_k)\right)^{1/n}}{\displaystyle \sum_{k=1}^n (1-x_k)} $$
    📚
    📚
    💁‍♂️
    👨‍🏫
  5. 👍 Enoncer la formule de Leibniz
    📚
    puis calculer la dérivée $n$-ième de $x\mapsto x^{n-1}\e^{\frac 1x}$ par récurrence.
    👨‍🏫
  6. 👍 Rappeler la définition de la partie entière d'un nombre réel
    📚
    . En déduire l'existence et la valeur de: $\dlim_{n\to +\infty}\left(1-\frac 1n\right)^{\entiere{nx}}$ ($x$ est un réel quelconque)
    📚
    . 😨 Même question pour $\dlim_{n\to +\infty}\left(\frac{\entiere{(n+1)^x}}{n^x}\right)^n$ pour $x> 1$
    👨‍🏫
    .
  7. 😨 On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ $a< b$, dérivable sur $]a,b]$ et telle que $\dlim_{t\to a_+}f'(t)$ existe et est finie. Montrer que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'$ est continue au point $a$
    💁‍♂️
    📚
    👨‍🏫
    .
  8. 👍 Etablir la convergence et calculer $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(n^2+n+1)x^n$ pour $|x|<1$?
    💁‍♂️
    📚
    👨‍🏫
  9. 😨 Soit $P$ un polynôme de degré $p\in\N$, de coefficient dominant égal à $1$ et à coefficients réels. Montrer que la série $\dsum \dfrac {P(n)}{n!}$ est convergente
    💁‍♂️
    📚
    📚
    . Que vaut cette somme si $P(X)=X^{p+1}-(X+1)^p$? En déduire $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^3-n+1}{n!}$.
    👨‍🏫
  10. 👍 On pose $u_n = \displaystyle (-1)^n \frac{\ln(n)}{n}$ et $S_{n}=\dsum_{k=1}^n u_k$ pour $n \geqslant 1$, . Montrer que $(S_{2n})_{n\geq 1}$ et $(S_{2n+1})_{n\geq 1}$ sont adjacentes
    📚
    . Conclure sur la nature de la série $\dsum u_n$ et écrire un script Scilab qui affiche une valeur approchée de la somme à $\varepsilon$ près.
    👨‍🏫
  11. 👍 Redémontrer le résultat du cours qui dit que la série $\dsum_n u_{n+1}-u_n$ est convergente ssi la suite $(u_n)$ l'est
    📚
    . En déduire la convergence de la suite de terme général $u_n=\ln(n)-\left(\dsum_{k=1}^n\dfrac 1{k}\right)$ et un équivalent de cette somme
    📚
    📚
    . Écrire un script qui calcule et affiche $u_n$ pour $n$ saisi au clavier par l'utilisateur.
    👨‍🏫
  12. 👍 $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ ($a< b$). Justifier l'existence de $\max_{[a,b]}(f)$
    📚
    et montrer que si $\dint_a^b f(t)dt=(b-a)\max_{[a,b]}(f)$ alors $f$ est constante sur $[a,b]$
    📚
    👨‍🏫
    .
  13. 😨 Déterminer un équivalent de $\sqrt[n]{n+1}+\sqrt[n]{n-1}-2$
    📚
    📚
    . 😱 Même question pour $a\ln(n)+b\ln(n+1)+c\ln(n+2)$, suivant les valeurs des réels $a,b$ et $c$. Nature des séries associées
    📚
    📚
    👨‍🏫
    .
  14. 😨 Montrer, en utilisant une intégration par parties
    📚
    📚
    , que si $f\in C^1([a,b])$, $\dint_a^bf(t)\sin(xt)dt$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$
    👨‍🏫
    .
  15. 👍 Déterminer: $\dlim_{n\to +\infty}\dsum_{k=1}^n\dfrac 1{n+k}$ puis 😨 de $\dlim_{n\to +\infty}\dsum_{k=1}^n\arctan\left(\dfrac a{n+k}\right)$, $a\in\R_+^*$
    💁‍♂️
    📚
    📚
    📚
    👨‍🏫
    .
  16. 👍 Calculer les intégrales suivantes: $\dint_0^1 t^2\sqrt{2t+1}dt$ et $\dint_0^1 \dfrac {t-1}{t^2+2t+2}dt$
    💁‍♂️
    📚
    👨‍🏫