Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets

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1. 👍 Déterminer $\alpha>0$ tel que la famille $(p_{i,j})_{i\geq 0,j\geq 0}$ avec $p_{i,j}=\dfrac{\alpha}{(i+j+1)!}$ définisse la loi de probabilité d'un couple $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$

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   . Déterminer la loi de $X+Y$ et la loi conditionnelle de $X$ sachant $[X+Y=n]$

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   . En déduire un Script de simulation du couple $(X,Y)$ avec Scilab.

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2. 👍 Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[X+Y=n]$ lorsque $X$ et $Y$ suivent la loi de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\mu$, sont indépendantes et $n\in\N$.

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3. 👍 On effectue une suite infinie d'expériences de Bernoulli indépendantes de même probabilité de succés $p$. On note $X$ le rang du premier succès et $Y_n$ le nombre de succès sur les $n$ premières expériences. Loi du couple $(X,Y_n)$

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   puis loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y_n=k]$ où $k\geq 1$

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   . Cas particulier $k=1$. Montrer que la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y_n=j]$ est la loi de la v.a.r. égale au minimum des numéros tirés si l'on prélève un échantillon de $j$ boules dans une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$.

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4. 👍 Formule de Wald - Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires réelles discrètes sur le même espace probabilisé, positives, admettant la même espérance que $X$. Soit $N$ une variable aléatoire réelle discrète à valeurs dans $\N$ indépendante des $X_k$ et admettant une espérance. On définit $Y=\dsum_{k=1}^N X_k$ si $N\geq 1$ et $Y=0$ sinon. Montrer que $Y$ possède une espérance vérifiant $\E(Y)=\E(X)\E(N)$

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5. 👍 Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On effectue dans cette urne un nombre aléatoire $N$ de tirages avec remise. On note $X_n$ la v.a.r. égale au nombre de numéros distincts tirés. Montrer que $\E\left(n\left(1-(1-\frac 1n)^N\right)\right)$ existe et $\E(X_n)=\E\left(n\left(1-(1-\frac 1n)^N\right)\right)$

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   . 😨 Montrer que si $\V(N)$ existe, $\E\left(n\left(1-(1-\frac 1n)^N\right)\right)\to \E(N)$ quand $n\to +\infty$. Interpréter. Étudier le cas particulier où $N\suit \P(\lambda)$.

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6. 👍 $X\suit {\cal P}(\lambda)$, $Y\suit {\cal P}(\mu)$ et sont indépendantes. On pose $Z=X^Y$. Existence et calcul de $\E(Z)$

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7. 👍 Existence et calcul de $\E(Y)$, $\E(XY)$, $\cov(X,Y)$ si $X\suit{\cal P}(\lambda) $ et pour tout $n\in\N$, ${\cal L}_{[X=n]}(Y)={\cal U}(\zint{0,n})$

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   . Idem pour $X\suit{\cal G}(p)$, ${\cal L}_{[X=n]}(Y)={\cal G}(\frac 1n)$.

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8. 👍 $X$ et $Y$ suivent la loi ${\cal U}(\zint{1,n})$ et sont indépendantes. On pose $Z=\dfrac XY$ si $X\leq Y$ et $0$ sinon. Calculer $\E\left(Z\right)$

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9. 😨 Soit $n\in\N^*$. On considère une population comportant $n$ individus. On effectue une suite de prélèvement d'un individu avec remise dans cette population. On note $X_k$ la variable aléatoire égale à $1$ si le $k$-ième individu choisi a déjà été prélevé et $0$ sinon. Par convention $X_1$ vaut toujours $0$.
   
   Déterminer la loi de $X_k$

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   . Calculer la covariance du couple $(X_i,X_j)$ si $i < j$

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   . Quel est son signe? Est-ce surprenant?

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10. 👍 On effectue $r$ tirages avec remise d'une boule dans une urne qui comporte $n$ boules numérotées de $1$ à $n\geq 2$. On note $X_i$ le nombre de fois où l'on a tiré la boule n$^o i$. Si $i\neq j$, montrer que $\rho(X_i,X_j)=-\dfrac 1{n-1}$

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    . En déduire que $X_j$ est une fonction affine de $X_i$ ssi $n=2$

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