Le modèle de MArkowitz: matrices symétriques positives, extremum sous contraintes linéaires
Matrice de covariance - Frontière efficiiente
Noyau et polynômes d'endomorphisme
Endomorphisme nilpotent et matrice triangulaire stricte.
Loi d'un couple discret - covariance
Probabilité d'une différence symétrique - Inégalité triangulaire
Espérance, une autre formule et application
EML 2021 - Étude de fonction, intégrale impropre, séries
EDHEC 2021 - Suites réelles
Révisions Scilab
Semaine 19 - Extremums des fonctions numériques de $n$ variables réelles
Semaine 18 - Fonctions numériques définies sur une partie de $\R^n$
Semaine 17 - Estimation et fonctions numériques définies sur $\R^n$
Semaine 16 - Convergence et estimation en probabilité
Semaine 15 - Convergence dans les espaces probabilisés
Semaine 14 - Algèbre bilinéaire 2/2, espaces euclidiens
Semaine 13 - Algèbre bilinéaire 1/2
Semaine 11 et 12 - Diagonalisation
Semaine 10 - Compléments d'algèbre linéaire
Semaine 9 - Applications linéaires et matrices
Semaine 8 - Début des révisions d'algèbre
Semaine 7 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
Semaine 6 - Révisions et compléments des probabilités de ECS1
Semaine 5 - Révisions 3 des probabilités
Semaine 4 - Révisions 2 des probabilités
Semaine 3 - Révisions 1 des probabilités
Semaine 2 - Révisions d'analyse et compléments sur les intégrales impropres
Semaine 1 - Révisions d'analyse de première année
A préparer pour la rentrée 2021
TD13 - Fonctions numériques de $n$ variables réelles
TD12 - Estimation de paramètres
TD11 - Convergence dans les espaces probabilisés
TD10 - Algèbre bilinéaire
TD9 - Compléments d'algèbre linéaire et diagonalisation
TD8 - Révisions sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et les matrices
TD7 - Révisions d'algèbre et d'algèbre linéaire (le début)
TD6 - Couples et vecteurs aléatoires discrets
TD5 - Révisions et compléments en probabilité
TD4 - Révisions 2 des probabilités
TD3 - Révisions 1 des probabilités
TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
TD1 - Révisions d'analyse de première année
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  • 👍 à faire absolument, pour tous.
  • 😨pour un public averti i.e. pas pour ceux qui sont en difficulté en maths.
  • 😱 pour les meilleurs lorsqu'ils ont rédigé les autres exercices de la planche.
$\renewcommand{\dsum}{\displaystyle\sum}$

Semaine 4 - Révisions 2 de probabilité

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Nb d'énoncés:

  1. 👍 Soit $A$, $B$ deux événements tels que les probabilités conditionnelles qui suivent sont définies. Montrer que si $\Pb_{B}(A)\leq \Pb(A)$ alors $\Pb_{\overline B}(A)\geq \Pb(A)$
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    .
  2. 👍 Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ tel que pour tout $k\in\N^*$, $\Pb_{[X\geq k]}([X=k])=\dfrac k{k+1}$. Déterminer la loi de $X$ et vérifier que c'est bien une loi de probabilité sur $\N^*$
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    . Déterminer aussi $\E(X)$ et $\V(X)$
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    .
  3. 👍 Montrer que si $X$ est une variable aléatoire réelle, sa fonction de répartition $F_X$ est continue à droite en tout point
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    . Montrer que, pour tout $x\in\R$,
    $[X< x]=\displaystyle\bigcup_{n\geq 1}\left[X\leq x-\frac 1n\right]$ et en déduire que $\Pb([X< x])=\displaystyle\lim_{t\to x_-}F_X(t)$
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    . En déduire une CNS pour que $F_X$ soit continue sur $\R$.
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  4. 😨 Si $X$ est une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisable, justifier que $Y=\lfloor X\rfloor$ est une variable aléatoire réelle discrète sur ce même espace probabilisable
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  5. 👍 $a$ et $b$ sont deux entiers vérifiant $a\leq b$. Montrer que $X$ suit la loi uniforme sur $\zint{a,b}$ ssi $X-a+1$ suit la loi uniforme sur $\zint{1,b-a+1}$. En déduire $\E(X)$ et $\V(X)$ en fonction de $a$ et $b$ lorsque $X\hookrightarrow{\cal U}(\zint{a,b})$
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  6. 👍 On effectue dans une urne contenant $n$ boules numérotées de $1$ à $n$, $r$ tirages d'une boule avec remise. On note $X_k$ le numéro de la boule tirée au $k$-ième tirage. Loi de $X_k$. 😨 Déterminer aussi l'espérance de $Y_r$ le nombre de boules différentes tirées
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    .

    Même question que la première si $k\leq r\leq n$, les tirages s'effectuant sans remise et déterminer dans ce cas l'espérance du maximum des numéros tirés 😨
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  7. 👍 $p\in]0,1[$, $r\in\N^*$. Réaliser, avec Scilab, la simulation de $X_r$ la variable aléatoire réelle égale au rang du $r$-ième succès lors d'un processus sans mémoire ayant une probabilité de succès égale à $p$.

    Déterminer la loi de $X_r$
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    et en déduire la convergence et la valeur de $\dsum_{n=0}^{+\infty}\binom{n+r}r x^n$ pour $0< x< 1$
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  8. 👍 $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et $r\in\N$. On pose $Y_r=\displaystyle\binom{X}{r}$. Montrer que $Y_r$ est une v.a.r. discrète qui possède une espérance puis la calculer en fonction de $r$ et de $\lambda$
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    . Même question si $X\hookrightarrow\B(n,p)$ et $r\in\zint{0,n}$
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  9. 👍 Loi de la variable aléatoire réelle $Y_{n,N}$ égale au maximum de $n$ variables indépendantes qui suivent la loi ${\cal U}(\zint{1,N})$
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    . Idem pour le minimum $Z_{n,N}$. $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\E(Y_{n,N})$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\V(Y_{n,N})$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\E(Z_{n,N})$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\V(Z_{n,N})$? Est-ce étonnant? 😨 Équivalent de $\E(Y_{n,N})$ quand $N\to +\infty$
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  10. 👍 Le nombre de véhicules qui passent par une gare de péage dans une journée est une variable aléatoire $X$ et $X\hookrightarrow \P(\lambda)$. On suppose lorsqu'un véhicule arrive à la gare, il y une chance sur $3$ pour qu'il soit conduit par une femme. Déterminer les lois de $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux nombres de véhicules conduits par une femme et par un homme qui passent par cette gare de péage chaque jour
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    . $Y$ et $Z$ sont-elles indépendantes
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  11. 👍 Pour une expérience on dispose de $n$ cobayes qui sont soumis à une épreuve. On suppose que chacun d'entre eux peut réussir cette épreuve avec la probabilité $p$. Lors de la phase 1, les $n$ cobayes passent l'épreuve, puis lors de la phase 2 ceux qui n'ont pas réussi l'épreuve la passe une deuxième fois et ainsi de suite jusqu'à ce qu'ils l'aient tous réussie. Loi du nombre de cobayes $X_k$ ayant réussi l'épreuve à l'issue de la $k$-ième phase
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    . Loi du nombre de phases $Z$ de l'expérience. Montrer que $Z$ admet une espérance
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    .
  12. 😱 On considère $(X_n)_{n\in \N^*}$ une suite de variables aléatoires sur le même espace probabilisé telles que pour tout $\omega\in\Omega$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} X_n(\omega)$ existe et est finie.

    On pose alors, pour tout $\omega\in\Omega$, $X(\omega)=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}X_n(\omega)$. Montrer que pour tout $x\in\R$, $[X\leq x]=\displaystyle\bigcap_{k=1}^{+\infty}\left(\bigcup_{N=1}^{+\infty}\left(\bigcap_{n=N}^{+\infty}\left[X_n\leq x+\frac 1k\right]\right)\right)$
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    . Que peut-on en déduire pour $X$
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