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TD2 - Révisions et compléments sur les intégrales impropres
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Nb d'énoncés:
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- 👍
On pose, lorsque c'est possible, $\quad f(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty }
{\dfrac{dt}{1+t+t^{x+1}}}$ . $\\$
- Montrer que le domaine de définition de la fonction $f$ est $]0,+\infty
\lbrack $
📚📚.
- Montrer que $f$ est décroissante sur $]0,+\infty \lbrack $
📚.
-
- Justifier l'existence de la quantité $g(x)$ définie sur $]0,+\infty \lbrack $ par $g(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty }{\dfrac{dt}{t(1+t^{x})}}$ .
- Pour tout $x$ de $]0,+\infty \lbrack $ et pour tout $t$ de $[1,+\infty
\lbrack $, simplifier ${\dfrac{1}{t}}-{\dfrac{t^{x-1}}{1+t^{x}}}$, puis établir que :
\begin{equation*}
\forall x\in ]0,+\infty \lbrack ,\quad g(x)={\dfrac{\ln 2}{x}}.
\end{equation*}
📚
- En déduire que : \begin{equation*} \forall x\in ]0,+\infty \lbrack ,\quad 0\leqslant f(x)\leqslant {\dfrac{\ln 2% }{x}}, \end{equation*} puis déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)$.
-
- Montrer que : \begin{equation*} \forall x\in ]0,+\infty \lbrack ,\quad 0\leqslant {\dfrac{\ln 2}{x}}% -f(x)\leqslant {\dfrac{1}{2x+1}}. \end{equation*}
- En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0^{+}$ ainsi qu'un équivalent de $f(x)$ lorsque $x$ est au voisinage de $0^{+}$.
- Dresser le tableau de variation de $f$.
- Montrer que le domaine de définition de la fonction $f$ est $]0,+\infty
\lbrack $
-
2018 - 👍 -
- Établir pour tout entier naturel $k$, la convergence de l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}t^k\e^{-t^2}dt$. On pose alors, $A_0=\displaystyle\int_0^{+\infty}\e^{-t^2}dt$ et pour tout entier $k\geq 1$, $A_k=\displaystyle\int_0^{+\infty} t^k\e^{-t^2}dt$.
- Calculer $A_0$, $A_1$ et $A_2$.
- Déduire de la question $1.a)$ la convergence, pour tout $x$ réel, des deux intégrales: $$\displaystyle\int_0^{+\infty}\e^{-t^2}\cos(2xt)dt\text{ et }\displaystyle\int_0^{+\infty}t\e^{-t^2}\sin(2xt)dt$$
- On note respectivement $F$ et $G$, les fonctions définies sur $\R$ par: $$\forall x\in\R\, ,\,F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\e^{-t^2}\cos(2xt)dt\text{ et }G(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t\e^{-t^2}\sin(2xt)dt$$ Dans la suite, on montre que $F$ est dérivable sur $\R$ et on obtient une expression de $F'(x)$ pour tout $x$.
-
- À l'aide d'une formule de Taylor, établir pour tout réel $u$, l'inégalité: $|\sin(u)|\leq |u|$.
- Pour tout réels $u$ et $v$, justifier la formule de trigonométrie : $$\cos(u)-\cos(v)=2\sin\left(\frac{u+v}2\right)\sin\left(\frac{v-u}{2}\right)$$
- En déduire que la fonction $F$ est continue sur $\R$.
-
- Pour tout réel $u$, justifier à l'aide d'une formule de Taylor, l'inégalité:$|u-\sin(u)|\leq \dfrac{u^2}2$.
- Pour tout réels $x$ et $h$, établir l'inégalité: $$\left|F(x+h)-F(x)+2hG(x)\right|\leq \\ \displaystyle\int_0^{+\infty}\e^{-t^2}\left(\left|(2ht-\sin(2ht))\sin(2xt)\right|+(1-\cos(2ht))|\cos(2xt)|\right)dt$$ (On pourra admettre l'existence de l'intégrale du second membre, qui découle des premières questions.)
- En déduire l'existence d'une constante $C>0$ telle que: $$\forall (x,h)\in\R^2, |F(x+h)-F(x)+2hG(x)|\leq Ch^2$$
-
- Justifier que la fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et exprimer sa fonction dérivée $F'$ à l'aide de la fonction $G$.
- En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout réel $x$, on a : $F'(x)=-2xF(x)$.
- En déduire que pour tout réel $x$, on a $F(x)=\dfrac{\sqrt{\pi}}2\e^{-x^2}$.
-
-
👍 On note $\disp \varphi (x)=\int_{0}^{x}{\ln (\cos (t))dt}$ lorsque cela a un sens.
-
- Montrer que:
$
\forall u\in ]0,1],\quad 0\leq -\ln (u)\leq \frac{1}{\sqrt{u}}.
$
💁♂️📚📚.
- En déduire que $\varphi (x)$ est définie pour tout $x\in [
0,\frac{\pi }{2}]$.
💁♂️
- Montrer que $\varphi $ est continue sur $[0,\frac{\pi }{2}]$ et de
classe $C^{1}$ sur $[0,\frac{\pi }{2}[$.
💁♂️📚
- Montrer que:
$
\forall u\in ]0,1],\quad 0\leq -\ln (u)\leq \frac{1}{\sqrt{u}}.
$
- Démontrer pour tout $x\in \lbrack 0,\frac{\pi }{2}]$ la formule
💁♂️📚: $$ \varphi (x)=x\ln (2)+2\varphi \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2}\right) -2\varphi \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right) \;. $$ En déduire la valeur de $\disp\varphi\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln (\cos (t))dt}$.
-
-
👍
- Montrer que $I=\dint_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}}dx$ est convergente
💁♂️📚📚📚.
- Transformer $I$ par le changement de variable $y=\dfrac{1}{x}$ que l'on justfiera précisément
📚.
- Montrer la convergence et déterminer la valeur de
$$J=\dint_{0}^{+\infty} \frac{1+\frac 1{x^2}}{1+\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}}dx$$. En déduire la valeur de $I$.
📚
- Montrer que $I=\dint_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}}dx$ est convergente
-
👍 Soit $x$ un réel positif. On définit lorsque cela à un sens, $$ \zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac 1{n^x}\textrm{ et } \eta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$$
- Déterminer l'ensemble de définition de $\zeta$ et étudier les variations de $\zeta$ sur son ensemble de définition.
$ \bullet$ Soit $x>1$. -
- Montrer que pour tout $n\geq 2$, $\displaystyle\int_n^{n+1}\dfrac 1{t^x}dt\leq \dfrac 1{n^x}\leq \displaystyle\int_{n-1}^n\dfrac 1{t^x}dt$.
- Démontrer que: $$\frac{1}{2^{x-1}(x-1)}+1\leq \zeta(x)\leq \frac{x}{x-1}$$ En déduire la limite de $\zeta$ en $+\infty$ et un équivalent simple de $\zeta(x)$ au point $1$.
- Ensemble de définition de la fonction $\eta$ (êta de Dirichlet)
- Justifier rapidement l'existence de $\eta(x)$ pour $x>1$.
$\bullet$ Soit $x\in]0,1]$. On pose, pour tout $N\in\N^*$, $S_N(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$. - Ecrire un programme Scilab qui calcule et affiche $S_N(x)$ lorsque $x$ et $N$ sont saisis par l'utilisateur.
- En étudiant les suites $(S_{2N}(x))_{N\in\N^*}$ et $(S_{2N+1}(x))_{N\in\N^*}$, montrer que la suite $(S_{N}(x))_{N\in\N^*}$ est convergente. Que peut-on en déduire pour la fonction $\eta$?
- Justifier rapidement l'existence de $\eta(x)$ pour $x>1$.
- Relation entre $\zeta$ et $\eta$ $\\$
- Montrer que, pour tout $x>0$ et $N\in\N^*$, $$\displaystyle\sum_{n=1}^{2N}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{{(2n-1)}^x}-\frac{1}{(2n)^x}$$ En déduire que: $\eta(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{{(2n-1)}^x}-\frac{1}{(2n)^x}$.
- Soit $x>1$. Établir l'égalité, $\eta(x)=(1-2^{1-x})\zeta(x)$.
- Intégrale de Fermi-Dirac et fonction $\eta$.
On considère l'intégrale impropre $D(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{e^t+1}dt$, où $x$ est un réel strictement positif.- Justifier la convergence de $D(x)$ pour tout $x>0$.
- Pour tout $n\in\N^*$, étudier la convergence de $J_n(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\e^{-nt}dt$ et exprimer $J_n(x)$ en fonction de $\Gamma(x)$, $n$ et $x$.
- En déduire que, pour tout $x>0$ et $N\in\N^*$, $$D(x)-\Gamma(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}=(-1)^N\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{e^t+1}\e^{-Nt}dt$$ puis l'égalité, pour tout $x>0$, $\eta(x)=\dfrac 1{\Gamma(x)}\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{e^t+1}dt$.
- Intégrale de Bose-Einstein et fonction $\zeta$.
On pose, pour tout $x>1$, $E(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{e^t-1}dt$.- Justifier la convergence de $E(x)$.
- Déterminer $(a,b)\in\R^2$, tel que $\forall t>0,\,\displaystyle \frac{1}{e^t-1}=\frac{a}{e^{t/2}-1}-\frac{b}{e^{t/2}+1}$.
- En déduire, pour tout $x>1$, l'égalité $E(x)=\dfrac{1}{1-2^{1-x}}D(x)$, puis que, $\forall x>1$, $$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{e^t-1}dt=\zeta(x)\Gamma(x)$$
- Déterminer l'ensemble de définition de $\zeta$ et étudier les variations de $\zeta$ sur son ensemble de définition.
-
👍 Soit $n\in\N$, on pose $I_n=\dint_{0}^{+\infty}e^{-t}\sin^n(t)dt$.
- Montrer la convergence de $I_n$ pour tout $n\in\N$
📚📚.
- Pour tout $n\in\N$, $n\geq 2$, établir la relation de récurrence suivante:
$$I_{n}=\dfrac{n(n-1)}{n^2+1}I_{n-2}$$
💁♂️
- Justifier l'égalité, pour tout $N\in\N$:
$$\dint_{0}^{(N+1)\pi}e^{-t}\sin^n(t)dt=\left(\dsum_{k=0}^N((-1)^n\e^{-\pi})^k\right)\dint_{0}^{\pi}e^{-t}\sin^n(t)dt$$
📚En déduire que $I_n=\dfrac{1}{1-(-1)^n\e^{-\pi}}\dint_{0}^{\pi}e^{-t}\sin^n(t)dt$ et que $(I_n)$ est à valeurs strictement positives📚.
On pose pour tout $n\in\N^*$, $u_n=-\ln(\sqrt nI_{2n})$ et $J_n=\dint_{0}^{\pi}e^{-t}\sin^n(t)dt$.
- Montrer que $u_n-u_{n-1}\sim \dfrac{1}{8n^2}$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente 📚.
- Établir l'existence d'une constante strictement positive $K$ telle que $I_{2n}\sim \dfrac{K}{\sqrt n}$. En déduire un équivalent de $J_{2n}$ en $+\infty$ faisant intervenir $K$.
- Montrer que pour tout $n\in\N$, $J_{2n+2}\leq J_{2n+1}\leq J_{2n}$
📚. En déduire un équilavent de $J_{2n+1}$ puis de $I_{2n+1}$ faisant intervenir $K$.
- Les suites de termes généraux $I_n$ et $\sqrt{n}I_n$ sont-elles convergentes?
- Montrer la convergence de $I_n$ pour tout $n\in\N$
-
2018 - 👍
On définit la fonction $I$ d'une variable réelle $x$ par :
$$I(x) = \Int_{0}^{1} \dfrac{\e^{xt}+ \e^{-xt}}{\sqrt{1-t^2}} dt$$
On pose, pour tout $k$ de $\N$, $W_k = \Int_0^{\frac{\pi}{2}} \big(\sin(u)\big)^k du$.
-
- Calculer les intégrales $W_0$ et $W_1$.
- Étudier la monotonie de la suite $(W_k)_{k\in\N}$ 📚.
- Montrer ensuite que la suite $(W_k)_{k\in\N}$ converge
💁♂️.
- Soit $k\in\N$. Montrer : $W_k - W_{k+2} = \dfrac{1}{k+1} \, W_{k+2}$
💁♂️.
- En déduire : $\forall k\in\N, W_{2k} = \dfrac{(2k)!}{2^{2k} \, (k\,!)^2} \, \dfrac{\pi}{2}$.
- Montrer que, pour tout $k$ de $\N$, l'intégrale $\Int_0^1 \dfrac{t^k}{\sqrt{1-t^2}} dt$ converge et que $\Int_0^1 \dfrac{t^k}{\sqrt{1-t^2}} dt = W_k$. $\\$ Pour cela, on pourra utiliser le changement de variable $t = \sin(u)$ après avoir justifié sa validité .
📚
-
- Montrer que la fonction $I$ est définie sur $\R$ et préciser sa parité.
- Donner la valeur de $I(0)$.
- Soit $x\in\R^+$.
- Soient $t\in[0\,;1]$ et $n\in\N$. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $2n$ appliquée à la fonction $u \mapsto \e^u+\e^{-u}$ entre $0$ et $xt$, montrer :
$$\Big|\e^{xt} + \e^{-xt} - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{2(xt)^{2k}}{(2k)!} \Big| \leq \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, \e^x$$
📚
- En déduire, pour tout $n$ de $\N$ : $\Big|I(x) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{2\,x^{2k}}{(2k)!} \, W_{2k}\Big| \leq \dfrac{x^{2n+1} \, \pi}{2\,(2n+1)!} \, \e^x$
💁♂️📚.
- En déduire que la série $\displaystyle\sum_{k\geq 0}{} \dfrac{x^{2k}}{2^{2k} \, (k\,!)^2}$ converge et que l'on a : $$\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2k}}{2^{2k} \, (k\,!)^2} = \dfrac{1}{\pi} \, I(x)$$
- Soient $t\in[0\,;1]$ et $n\in\N$. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $2n$ appliquée à la fonction $u \mapsto \e^u+\e^{-u}$ entre $0$ et $xt$, montrer :
$$\Big|\e^{xt} + \e^{-xt} - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{2(xt)^{2k}}{(2k)!} \Big| \leq \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, \e^x$$
- Montrer, pour tout $x$ de $\R^+$ : $0\leq \Int_{0}^{1} \dfrac{\e^{-xt}}{\sqrt{1-t^2}} dt \leq \dfrac{\pi}{2}$.
-
- Montrer, pour tout $u$ de $\Big[0\,;\dfrac{1}{2}\Big]$ : $1\leq \dfrac{1}{1-u} \leq (1+u)^2$.
- Soit $x\in\R^+$. Montrer, à l'aide du changement de variable $u = 1-t$ : $$\Int_{0}^{1} \frac{\e^{xt}}{\sqrt{1-t^2}} dt = \dfrac{\e^{x}}{\sqrt{2}} \Int_{0}^{1} \frac{\e^{-xu}}{\sqrt{u}\,\sqrt{1-\frac u 2}} du$$.
- En déduire, pour tout $x$ de $\R^+$ : $$\dfrac{\e^{x}}{\sqrt{2}} \Int_{0}^{1} \dfrac{\e^{-xu}}{\sqrt{u}} du ~~ \leq ~~ \Int_{0}^{1} \dfrac{\e^{xt}}{\sqrt{1-t^2}} dt ~~ \leq ~~ \dfrac{\e^{x}}{\sqrt{2}} \Int_{0}^{1} \dfrac{\e^{-xu}}{\sqrt{u}} du + \dfrac{\e^{x}}{2\sqrt 2} \Int_{0}^{1} \e^{-xu} \, \sqrt{u} du$$
- Rappeler une densité de la loi normale d'espérance nulle et de variance $\dfrac{1}{2}$. $\\$ En déduire les convergences et les valeurs des intégrales suivantes : $$\Int_0^{+\infty} \e^{-t^2} dt\text{ et }\Int_0^{+\infty} t^2\,\e^{-t^2} dt$$
- En déduire : $I(x) \underset{x\to+\infty}{\sim} \dfrac{\e^x\, \sqrt{\pi}}{\sqrt{2x}}$.
-
-
👍 Pour tout $n\in\N$, on pose, sous réserve de convergence: $I_n=\dint_0^1\dfrac{x^{2n+1}}{x^2-1}\ln(x)dx$.
- Montrer que $I_n$ existe pour tout $n\in\N$
💁♂️📚.
- Établir que $I_{n+1}-I_n=-\dfrac 1{4(n+1)^2}$
💁♂️📚.
- Montrer que $\dlim_{n\to +\infty}I_n=0$
💁♂️.
- En déduire que: $$\dint_0^1\dfrac x{x^2-1}\ln(x)dx=\frac 14\dsum_{n=1}^{+\infty}\dfrac 1{n^2}$$
📚
- Montrer que $I_n$ existe pour tout $n\in\N$
-
👍
- On considère une fonction $f$ de classe $C^1$ et strictement positive sur $[1,+\infty[$ telle que $xf'(x)\underset{+\infty}\sim -\alpha f(x)$ où $\alpha\in]0,+\infty[$.
-
Montrer que $\dint_1^{+\infty}\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx$ diverge vers $-\infty$
💁♂️📚.
- En déduire que $\dlim_{x\to +\infty}f(x)=0$ 📚.
- On pose pour $\beta>0$ et $x\geq 1$, $g(x)=x^{\beta}f(x)$.
- Montrer que $\dlim_{x\to +\infty}x\dfrac{g'(x)}{g(x)}=\beta-\alpha$. En déduire: que $$\dlim_{x\to +\infty}g(x)=\begin{cases}+\infty &\text{ si }\beta>\alpha \\ 0 &\text{ si }\beta<\alpha \end{cases}$$
- En déduire que $\dint_{1}^{+\infty}f(x)dx$ converge si $\alpha>1$ et diverge si $\alpha<1$
📚.
-
Montrer que $\dint_1^{+\infty}\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx$ diverge vers $-\infty$
-
- 😨 On considère les fonctions $g$ et $\varphi$, définies par
$$\forall t>0,\,g(t)={
\dfrac{1}{\sqrt{t}}}\times \exp \left[ -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{t}{4}+%
\sqrt{t}\right) \right]$$
$$\forall t\in\R,\,\varphi(t)=
\exp \left( -\frac{t^2}{2}\right)$$
et où $\exp $ désigne la fonction exponentielle.
- Etablir la convergence des intégrales impropres $\displaystyle\int_{0}^{+%
\infty }\varphi(t)dt$ et $\displaystyle\int_{0}^{+%
\infty }g(t)dt$ 💁♂️.
- Soient $f$ et $\Phi$ les fonctions définies sur $\R^+$ par:
$$
f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty }g(t)dt\quad;\quad
\Phi(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty }\varphi(t)dt $$
- Montrer que $\Phi$ est de classe $C^1$ sur $\R^+$ et $f$ de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ 💁♂️
- Justifier la validité du changement de variable $u=\sqrt{t}$ dans l'int%
égrale impropre $\displaystyle\int_{0}^{+\infty }g(t)dt$
💁♂️.
- En déduire que $f(0)=4\sqrt{e}%
\displaystyle\int_{1}^{+\infty }e^{-v^{2}/2}dv$
💁♂️.
- Montrer que, pour tout réel $x$ positif, on a :$f(x)=4\sqrt{e}\times\Phi \left( \dfrac{\sqrt{x}}{2}+1\right)$
💁♂️.
- Montrer que $\Phi$ est de classe $C^1$ sur $\R^+$ et $f$ de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$
- Etablir la convergence des intégrales impropres $\displaystyle\int_{0}^{+%
\infty }\varphi(t)dt$ et $\displaystyle\int_{0}^{+%
\infty }g(t)dt$
-
oral 2018 - 😨 Soit $f:[1,+\infty[ \rightarrow {\R}$ de classe ${\cal C}^1$.
- Montrer que pour tout $n \in {\N}^{\ast}$, on a: $$ \int_n^{n+1} f(t) \, dt =f(n)+\displaystyle \int_n^{n+1} (n+1-t) f'(t) \, dt $$
- On suppose que l'intégrale $\displaystyle \int_1^{+\infty} f'(t) \, dt$ converge absolument.
- On pose: $\forall\,n \in {\N}^{\ast}$, $v_n=\displaystyle \int_n^{n+1} f(t) \, dt-f(n)$. Quelle est la nature de la série de terme général $v_n$? 💁♂️📚
- En déduire que la série $\displaystyle \sum_{n \geq 1} f(n)$ converge si et seulement si la suite $\displaystyle \left(\int_1^n f(t) \, dt \right)_{n \geq 1}$ converge.
- On pose: $\forall\,n \in {\N}^{\ast}$, $v_n=\displaystyle \int_n^{n+1} f(t) \, dt-f(n)$. Quelle est la nature de la série de terme général $v_n$?
-
- À l'aide du changement de variable $u=\sqrt{x}$, établir l'égalité: $$\int_1^n{\cos(\sqrt{x})\over x}\,dx=2 \int_1^{\sqrt{n}}{\cos(u)\over u}\,du$$
- Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{\cos(\sqrt{n})}{n}$ 💁♂️.
- Montrer l'existence d'un réel $\ell$ qui vérifie la relation: $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{\ln(k)}{k}=\frac{\ln^2(n)}{2}+\ell+o(1)$
💁♂️. -
😨 - La fonction de Halphen
- On note pour $x\in\R$, $H(x)={\dint_0^{+\infty}t^{x-1}}\exp\left(-\frac 1{2}\left(t+\frac 1{t}\right)\right)dt$, lorsque que cette intégrale est convergente. L'objet de l'exercice est l'étude de la fonction $H$.
- On définit la fonction $\varphi$ par, pour $t\in]0,+\infty[$, $\varphi(t)=\exp\left(-\frac 1{2}\left(t+\frac 1{t}\right)\right)$.$\\$
- Montrer que $H$ est définie sur $\R$ et à valeurs strictement positives.
- En réalisant le changement de variable $u=\inv{t}$, que l'on justifiera, sur $H(x)$, montrer que $H$ est une fonction paire.
On étudie donc $H$ sur $\R^+$.
- Déterminer le tableau de variation de la fonction $\varphi$.
- Equation fonctionnelle
- Montrer que pour tout $x\geq 0$, $H(x+2)-H(x)=-2\dint_0^{+\infty}t^{x+1}\varphi'(t)dt$.
- En déduire la relation: $\forall x\geq 0$, $H(x+2)=2(x+1)H(x+1)+H(x)$.
- Variations de $H$
- En utilisant le changement de variable $u=\frac 1{t}$, prouver que pour tout $x\geq 0$, $${\dint_0^{1}t^{x-1}}\varphi(t)dt={\dint_1^{+\infty}u^{-x-1}}\varphi(u)d u$$ En déduire que $H(x)={\dint_1^{+\infty}}\left(t^x+t^{-x}\right)\dfrac{\varphi(t)}{t}d t$.
- Si $t$ est un réel plus grand que $1$, déterminer les variations sur $\R^+$ de la fonction $x\mapsto t^x+t^{-x}$.
- En déduire que $H$ est une fonction croissante sur $\R^+$, puis que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}H(x)=+\infty$.
- Equivalent de $H$ en $+\infty$ - Dans cette question $x>1$.
- Montrer que $\dint_0^{+\infty}t^{x-1}\e^{-\frac t2}dt$ converge et calculer cette intégrale en fonction de $\Gamma$.
- Etablir l'inégalité suivante: $\forall t>0,\, 0\leq 1-\exp\left(-\frac{1}{2t}\right)\leq\frac 1{2t}$.
- Prouver l'encadrement suivant: $$0\leq 2^x\Gamma(x)-H(x)\leq \dfrac 12\dint_{0}^{+\infty}t^{x-2}\e^{-\frac t2}dt $$
- En déduire que $H(x)\underset{+\infty}\sim 2^x\Gamma(x)$.